第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷详解

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1、一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若P＝{－1，0，1}，Q＝{－2，2}，则集合P·Q中元素的个数是A．3B．4C．5D．62．对下列命题的否定，其中说法错误的是A．P：能被3整除的整数是奇数；P：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．P：存在一个四边形的四个顶点不共圆；P：每一个四边形的四个顶点共圆C．P：有的三角形为正三角形：P：所有的三角形不都是正三角形D．P：3．若，则下列不等式：①a＋b

2、a

3、>

4、b

5、③a

6、B．②③C．①④D．③④4．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为A．（0，2）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．幂函数的图象过点（2，），则它的单调递增区间是A．（0，＋∞）B．C．（－∞，＋∞）D．（－∞，0）6．已知点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设等于A．B．C．D．27．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，m∈N*，且，则m等于A．11B．10C．9D．88．把函数的图象按向量平移，所得曲线的一部分如图所示，则ω，的值分别是A．1，B．1，－C．2，D．2，－9．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么sinA·cos2（

7、45°－为A．有最大值和最小值0B．有最大值，但无最小值C．既无最大值也无最小值D．有最大值，但无最小值10．已知x和y是正整数，且满足约束条件的最小值是A．24B．14C．13D．11.511．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是A．B．C．D．12．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标为右图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较大的锐角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则sin2－cos2的值等于A．1B．C．D．－二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

8、13．一个算法如下：第一步：s取值0，i取值1第二步：若i不大于12，则执行下一步；否则执行第六步第三步：计算S＋i并将结果代替S第四步：用i＋2的值代替i第五步：转去执行第二步第六步：输出S则运行以上步骤输出的结果为14．设向量，则的最小值是15．设的取值范围是16．等差数列有如下性质：若数列{an}是等差数列，则当时，数列{bn}也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，当dn＝时，数列{dn}也是等比数列.三、解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B

9、、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边边长为l.求：（1）角C的大小；（2）△ABC最短边的长.18．（本小题满分12分）已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出的图象；（2）若函数f（x）在区间[－1，

10、a

11、－2]上单调递增，试确定a的取值范围.19．（本小题满分12分）已知对任意实数a∈[1，2]恒成立；Q：函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围.20．（本小题满分12分）已知向量定义函数.（1）求函数g（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的定义域；（3）求函数f（x）的单调递增区间.21．（本小题满分12分）

12、某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图1、图2、图3所示。其中图1的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图2的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.（1）分别写出国外市场的日销售量f（t）、国内市场的日销售量g（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6300万元。22．（本小题满分14分）对于数列{an}，定义{△

13、an}为数列{an}的一阶差分数列，其中（1）若数列{an}的通项公式的通项公式；（2）若数列{an}的首项是1，且满足，①证明数列为等差为数列；②求{an}的前n项和Sn参考答案一、ACBCDCBDABAD二、13．3614．15．16．17．（1）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）∴（5分）（2）∵00，（2分）又f（x）为奇函数，∴，∴f（x）＝x2＋2x，∴m＝2y＝f（x）的图象如右所示

14、（6分）（2）由（1）知