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《第十三章柱坐标下的分离变量法BESSEL函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、Chapter13柱坐标下的分离变量法Bessel函数Abstracts:以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解引入各种柱函数（Bessel函数、虚宗量Bessel函数和球Bessel函数等）。在分析这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。一、柱坐标下的变量分离1.柱坐标系下的稳定问题（Laplace方程）-亍P*+A兽*岁丸pdp)p_(1)即：=知）卩+*怙+伦=0.(2)令M0,©z）=/?9）e（0）z（z）,代入（2）得:—(pRf}+舉①"+R①Z"=0.PP~丄x(3)得：R®Z(3)pg
2、p?Z”=轧QRZ_(D~(4)分离变量得:e〃+2e=o.(6)m（（p）={cosm（p,sinm（p}.（6）即为得：迪*止和分罗RZ(pR)m2PR一飞z"-“z=o.p2fC+pH+(/Jp2-m2)R=0.这两个方程，先求解哪一个以及
3、1如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题,也就是取决于定解问题的边界条件。如果/?(/?)构成本征值问题，则+pR'+(
4、“p2_m2)R=0,式中p的取值范圉不同，方程解的形式与性质不同。1)“二0：并七卩尺-龙R=0,即为Eulereq・2)“>0:p2R"+pR'+(V//P)2-^2R=0・(7)dRdy(兀)dr记:f则：<=yM代入(7)得x2y"+小‘+(F—加2)歹=°,即为加阶Besseleq.3)“vO:令“=-疋，代入0吹"+卅+(///?2-莎)R=0得p2R"+pR'-(k2p2+m2)R=O.(8)记kp=x、R(p)=y(x),代入(8)得:=0,即为虚宗量Besseleq.(9)令:ix=t,y(x)=^(0
5、代入(9)得尸0"+妙+(尸一〃『)0=0,即为Besseleq.2.柱坐标系下的非稳定问题(振动、输运方程)w/z(r,0-6J2V2u(r,0=0;w/(r,Z)-a2V2w(r,?)=0.令w(p,0zJ)=T(t)V(p,0,z),代入上式得:a2T~V[a2T~VjVv2vz.==-kV分离变量得:厂+0咲2卩二0r+t/W=ov2v+z：2v=o,此为Helmholtz方程，即：丄（卩匕丄+A%+J・pP令V（p,（p,z）=R（pg（（p）Z⑵,代入上式得：①"+M=o.6、?'+［（£2+“）/?'-m27?=0.同样要求对疋+“的符号（土）加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于Z（z）的本征值问题）。二、Bessel函数［（圆）柱函数］1.Bessel函数设p贋品=x,R（p）=y（Q,则一般地（V可以不为整数）x2y^++（X2-v2）y=0ny（x）=AJV（x）+BNr（x）,8f_lV（XV+2k其屮：jv（x）=y—,仙「（仆+1）（2丿（“T）,sin^vN”（x）=limJ，x）cosm—Jt，（x）少=/?integer）.I”sinV7TJv（x）:v阶（第一类）
7、Bessel函数；Nr（^）:v阶（第二类）Bessel函数.心整数，人（兀）和J_Q）线性无关解；v=m=整数，打（兀）和N〃Q）线性无关解，Nw（x）:Norimann函数。当尸刃疋+“是实数时,儿⑴和N,力都是实函数，现在再引入两个复函数。比）（兀）=J'兀）+讥心）,第一种Hankel函数；H：）（兀）=JQ）-/NQ）,第二种Hankel函数,它们统称为v阶（第三类）Bessel函数，于是Besseleq.的解可以是以上四种函数中任何两个的线性组合。类似于cosx,sinx,cos兀+isin兀,cosx-is
8、in兀都是方程y"（兀）+y（尤）二0的特解，其通解可以用以上四个函数中任何两个线性组合表示。2.各种柱函数的递推公式与渐近性质（1）递推公式(hzj=-丘乙广z：--zv=-zr+1.2Z：=Z_]_Zr+],丝7=7+7Z,代表J”N”H：）,H：）・证明：例如，=2'k=0z、u+2EX£!「W+£+l)l2丿(卜〈(-1)"(2八2幻严”
9、十(-1/y-l+2kR!「(i/+R+1)T+2k同理又有:(x-vzvy=-x-vzv+].特例：几=話=>J估広）姑=1-J（）⑴，（#zj二兀它却=>严J如⑴.（2）渐
10、近性质(A).兀很小(xtO)时,(2Jo(x)~彳、厶丿1_任、W+l)lNN,Q)斗吟c]j,,Q)_丄龙l2丿7t〃=o叶£(_，)k=()z、丿+2RX加一1JQ)〜-nt+2n、7]卞(_1)E幵=0n•(.11)1I2n一m)12丿(.1+]I2n+—n)z-m+2nfxy<2>2x2N0(x)In
