高中教材变式题4：三角函数

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1、答案:3血+乔+22高中教材变式题4——三角函数1.(北师大版第59页A组第2题)正弦定理与余弦定理在AABC中，若(d+/?+c)(c+Z?-g)=3Z?c,则A=().A.150°B.120°C.60°D.30：变式1：在AABC屮，若a=屈,c=4,A=60°,则b二答案：1或3C=105°，则此三角形的周长为变式2：在AABC中，若b=迥,A=30°,变式3：已知b、c是ZVIBC中ZA、ZB、ZC的对边，S是aBC的而积.若。=4,b=5,S=5V3,求c的长度.1解：S=—ahsin

2、C,.*.sinC=-—,于是ZC=60°或ZC=120°22又*.*c2=a2+b2—2dbcosC,当ZC=60°时，c2=a2+b2—abrc=a/21当ZC=120°时，c2=ci2+b2+ab,c=応・・・c的长度为J刃或两2.(北师大版第63页A组第6题)三角形中的几何计算在ZBC中，AB=AC=3,BC=2,乙8的平分线交过点A且与BC平行的线于点D.求ABD的而积.变式1：已知△ABC的周t为V2+1,且sinA+sinB=J^sinC.(I)求边AB的长；(II)若厶ABC的

3、而积为-sinC,求角C的度数.解：(I)由题意及正弦定理，得AB+BC+AC二血+1,BC+AC=4iAB,两式相减，得AB=.(U)由△磁的而积”CMsinc£nC,得BCM斗由余弦定理,得cosC=力+财-佰2ACBC(AC+BCf-2ACBC-佰_12ACBC_2所以C=60°.变式2：A.C.T[△ABC屮，A=—,BC=3,则厶ABC的周长为()•34V3sin(B+y)+3兀6sin(B+亍)+3B.4V3sin(B+-)+36TCD.6sin(B+—)+3解:在MBC中，由止弦

4、定理得：仝^=2,化简得：AC=2V3sinB,sinBV3=亠,化简得：AB=2V3sin(—-B),sin[^-(B+-)]22.332所以二角形△ABC的周长为：3+AC+AB=3+2sinB+2sin(—B)=3+3V3sinB+3cosB=6sin(B+—)+36故选D变式3：在AABC中，ZB=45°,AC=>/10,cosC=—，求(1)BC=?(2)若点D是AB的中点，求屮线CD的长度。解：(1)由cosC=Z^得：sinC=55sinA=sin(180:-45°-C)=^^(c

5、osC+sinC)=210”一AC.A_y/103V10__r-由正弦定理知：sinBV210~TADAC.V1075I⑵g而创心TF了“込扣=]~T由余弦定理知:CD=JBD?+BC?-2BD・BCcosB=Jl+18—2・1.3妊¥=后1.（北师大版第69页练习2第2题）解三角形的实际应用某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由A出发的一条公路走向是南偏东40",在B处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B,D间的距离为21km。这个人要走多少

6、路才能到达A城?变式1：如图，当甲船位于A处时获悉,在其正东方向B相距20海里的B处有一•艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同吋把消息告知在甲船的南偏两30°,相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度梢确到1°）?解析：连接BC,由余弦定理得：BC2=202+102-2X20X10C0S120°=700.即BC=10V7…sinZACB_sin120°*20-10a/7AsinZACB=VZACB<90°,・・・ZACBu41°.・••乙船应朝北偏东71

7、°方向沿肓线前往B处救援.变式2：如图，测量河对岸的塔高吋，可以选与塔底B在同一水平而内的两个测点C与D.现测得乙BCD=%ZBDC=[3,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为C求塔高力3•解：在△BCD中，ACBD=n-a-f3.由正弦定理得:BCCDsinABDC~sinZCBD所以BCCDsinZBDCsinZCBD5.sin0sin(cr+0)在RtAABC中，AB=BCtanZACB=5-tan^sin^.sin(a+0)变式3：如图，「卩船以每小时30血海里的速度向正北方航行，乙船按

8、固定方向匀速直线航行，当甲船位于人处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的色处，此时两船相距20海问乙船每小吋航行多少海里?里，当甲船航行20分钟到达仏处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的处，此吋两船相距10血海里解法一：如图,连结£场，由已知企爲=10血勺匕J05"A心30屈牛皿,又ZA血2=180°-120°=60°,:./AtA2B2是等边三角形，.•・A{B2=A,A2=10y/2f山已知，=20,ZB1A1B2=105°-60°=45°,在厶A}B2B}中，由余弦定理，得：B}