非线性方程组的迭代解法【毕业论文】

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1、（20__届）本科毕业设计信息与计算科学非线性方程组的迭代解法17目录摘要…………………………………………………………………………………21引言……………………………………………………………………………21.1概念……………………………………………………………………22非线性方程的根的定位和二分法……………………………………………32.1根的定位…………………………………………………………………32.2二分法……………………………………………………………………43非线性方程组的迭代法解法…………………………………………………43.1一般概念…………………………………………………………………44

2、基于不动点迭代原理…………………………………………………………64.1概述………………………………………………………………………64.2不动点的迭代格式………………………………………………………54.3迭代法的局部收敛性与收敛阶…………………………………………74.4非线性方程组的不动点迭代解法………………………………………95牛顿迭代法……………………………………………………………………105.1牛顿迭代法格式…………………………………………………………125.2牛顿迭代法的收敛性质…………………………………………………135.3牛顿迭代法解非线性方程组……………………………………………16

3、17非线性方程组的迭代解法摘要：非线性问题是近代数学研究的主流之一，而非线性方程组常用的求解思路有两种：基于不动点原理的间接法和基于变分原理的优化方法，他们都是以迭代的形式实现的。现在我们对非线性方程组的迭代法解法的相关性质及其定理进行了解和研究。关键词：非线性方程组不动点迭代法牛顿迭代法1引言现实中的一些问题可转换成为求非线性方程组的数值解的问题，求解非线性方程组既基础又重要，因此在初等代数中就研究了它，迭代法是求解非线性方程组的常用方法，从单变量单个方程组开始，由不动点迭代的基本原理，直到收敛较快的牛顿迭代。牛顿迭代是最常用的求解方法，由于其可扩展到非线性方程组，缺点是局部收敛性和计算量大

4、。近来，对这些缺点提出了不少新意算法，这些算法可分为两个主流：一是针对牛顿法局部收敛性引起的初始法选择困难，扩展初始法范围，实现较大范围的收敛效果，其二是针对牛顿法的计算量大提出的，有代表性的是拟牛顿法及其各种变形。基于变分原理的优化方法，把求解非线性方程组问题转换为一个优化问题，这样一来许多与最优领域的发展而来的方法就可以一一应用了。通常，非线性方程组的根不止一个，对于非线性方程组的迭代法求解过程中，要给定初始值或求解范围。下面我们来对非线性方程组进行研究探讨。1．1概念含个方程的元非线性方程组的一般形式是：（1.1）上述中至少有一个为非线性函数，记元变量x=,向量函数=,则（1.1）可记为

5、（1.2）本文定义在定义域内连续，以保证问题的适定性。所谓非线性方程组求解，指寻找17为方程（1.2）的解，或为向量值函数的零点，特别的当时，（1.2）是一个只含单变量的非线性方程组(1.3)研究非线性方程组的解的存在性和有效解法已有很多成果。本文我们将先讨论（1.3）的求解原理、方法实施、及其算法分析，然后再扩展到非线性方程组的求解。2非线性方程的根的定位和二分法2.1根的定位出于迭代法确定初始解的需要，我们需要弄清解的分布情况，在解非线性方程过程中，我们首先要确定根所在的区间，进行方程根的定位。2.1.1一般定位方法1.分析法使用数学分析的方法，讨论及其导数在各个区间的值，找出他的单调区间

6、、拐点、渐近线等特征量，弄清的性态等，当函数简单时，可以作图分析。2.逐步搜索法运用于连续函数，在区间,如，则方程在[]上至少存在一个根。按照某个规则把[]分成几个子区间。在子区间计算，并记下符号，当发现两个端点的函数值异号，那么该子区间至少有一个实根。如果还能确定该区间上函数的单调性，就可以进一步确定该区间为根的隔离区间。逐步搜索法虽然直观简单，但由于其步长不易确定，当根为偶次重根时不能达到目的。下面我们将对逐步搜索法稍加改进，使之能成为使用的方法，即二分法。2.2二分法将有根区间[]用中点将它平分。如不是的零点，则继续搜索，检查与的符号，如果同号，其所求根在的右侧，此时令，无论出现什么情况

7、，新有根区间[]长度为原区间的一半。17对新有根区间继续上述操作可得到新的更小的区间，依次类推，得到一系列区间，这些区间都是前一个的一半且有当时，[]的长度会趋于零，即这些区间将最终收敛于一个点。此点为方程所求的根（在实际操作对于二分法只能执行有限次）。3非线性方程组的迭代法解法3.1一般概念基于不动点原理和变分原理是求解非线性方程组数值解法的两大思想主流，现在我们讨论基于不动点原理的基本方法的两