2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版课时跟踪检测(四十二) 空间向量的综合应用 含解析

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1、课时跟踪检测(四十二)空间向量的综合应用一保高考,全练题型做到高考达标1.(2019·海安检测)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.(3)若二面角AB1EA1的大小为30°,求AB的长.解:(1)证明:以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1

2、(a,0,1),故=(0,1,1),=.∵·=0+1-1=0,∴⊥,即B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).由(1)知,=(a,0,1),=.设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z).则即取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=.要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,即-az0=0,解得z0=.又∵DP⊄平面B1AE,∴在棱AA1上存在一点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=.(3)连结A1D,B1C,由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1=AD=1

3、,得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,∴AD1⊥平面DCB1A1.∴是平面A1B1E的一个法向量,此时=(0,1,1).则cos〈n,〉==.∵二面角AB1EA1的大小为30°,∴=,解得a=2,即AB的长为2.2.(2018·南京学情调研)如图,在底面为正方形的四棱锥PABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是线段PC的中点.(1)求异面直线AP与BE所成角的大小;(2)若点F在线段PB上,且使得二面角FDEB的正弦值为,求的值.解:(1)在四棱锥

4、PABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,所以DA,DC,DP两两垂直,故以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.因为PD=DC,所以DA=DC=DP,不妨设DA=DC=DP=2,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0).因为E是PC的中点,所以E(0,1,1),所以=(-2,0,2),=(-2,-1,1),所以cos〈,〉==,从而〈,〉=.因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(2)由(1)可知,=(0,0,2),=(0,1,1),=(2,

5、2,0),=(2,2,-2).设=λ,则=(2λ,2λ,-2λ),从而=+=(2λ,2λ,2-2λ).设m=(x1,y1,z1)为平面DEF的法向量,则即取z1=λ,则y1=-λ,x1=2λ-1.故m=(2λ-1,-λ,λ)为平面DEF的一个法向量,设n=(x2,y2,z2)为平面DEB的法向量,则即取x2=1,则y2=-1,z2=1.所以n=(1,-1,1)为平面BDE的一个法向量.因为二面角FDEB的正弦值为,所以二面角FDEB的余弦值的绝对值为,即

6、cos〈m,n〉

7、===,化简得4λ2=1.因为点F在线段PB上,所以0≤

8、λ≤1,所以λ=,即=.3.(2018·常州期末)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧面ADD1A1⊥底面ABCD,D1A=D1D=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2.(1)在平面ABCD内找一点F,使得D1F⊥平面AB1C;(2)求二面角CB1AB的余弦值.解:(1)取A1D1的中点E,因为D1A=D1D,所以D1A=A1A,所以AE⊥A1D1.又A1D1∥AD,所以AE⊥AD.因为侧面ADD1A1⊥底面ABCD,侧面ADD1A1∩底面ABCD=AD,AE⊂侧面ADD1A1,

9、所以AE⊥平面ABCD.则以A为原点,以AB,AD,AE所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1),B1(1,-1,1),设F(a,b,0),则=(a,b-1,-1),=(1,1,0),=(1,-1,1),因为D1F⊥平面AB1C,所以即得a=b=,所以F,即F为AC的中点.所以存在AC的中点F,使D1F⊥平面AB1C.(2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1==.设平面B1AB的法向量n2=(x,y,z),因为=(1,0,0),所以即

10、令y=1,得n2=(0,1,1).则cos〈n1,n2〉==-.由图知二面角CB1AB为锐角,所以二面角CB1AB的余弦值为.4.(2019·苏北四市一模)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2

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