2017-2018学年高中数学第六章推理与证明6.2直接证明与间接证明6.2.1直接证明:分析法与综合法分层训练湘教版选修2

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1、6.2.1 直接证明:分析法与综合法一、基础达标1.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是(  )A.若a>b,则ac2>bc2B.若>,则a>bC.若a3>b3且ab<0,则>D.若a2>b2且ab>0,则<答案 C解析 对于A:若c=0,则A不成立,故A错;对于B:若c<0,则B不成立,B错;对于C:若a3>b3且ab<0,则,所以>,故C对;对于D:若,则D不成立.2.A、B为△ABC的内角,A>B是sinA>sinB的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案 C解析 由正弦定

2、理=,又A、B为三角形的内角,∴sinA>0,sinB>0,∴sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B.3.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.其中正确命题的个数是(  )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 若l⊥α,m⊂β,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;若l⊥α,m⊂β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确;若l⊥α,m⊂β,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;若l⊥α,m⊂β,l∥

3、m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.4.设a,b∈R+,且a≠b,a+b=2,则必有(  )A.1≤ab≤B.ab<1ab.又因为a+b=2>2,故ab<1,==2-ab>1,即>1>ab.5.要证明+<2,可选择的方法有很多,最合理的应为________.答案 分析法6.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为________.答案 a>c>b解析 ∵a2-c2=2-(8-4)=4-6=->0,∴a>c.∵==>1,∴c>b.7.设a≥b>0,求证:3a3+2b3

4、≥3a2b+2ab2.证明 法一 3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2.法二 要证3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需证3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b>0.∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0,∴上式成立.二、能力提升8.设0

5、最大的一个是(  )A.aB.bC.cD.不能确定答案 C解析 ∵b-c=(1+x)-==-<0,∴bx=a,∴a0B.ab<0C.a>0,b<0D.a>0,b>0答案 C解析 ∵与同号,由+≤-2,知<0,<0,即ab<0.又若ab<0,则<0,<0.∴+=-≤-2=-2,综上,ab<0是+≤-2成立的充要条件,∴a>0,b<0是+≤-2成立的一个充分而不必要条件.10.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1-

6、ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一,要证A1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1,因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1,故只需证B1D1⊥A1C1即可.11.已知a>0,->1.求证:>.证明 要证>成立,只需证1+a>,只需证(1+a)(1-b)>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,∴a-b>ab,只需证:>1,即->1.由已知a>0,->1成立,

7、∴>成立.12.求证抛物线y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.证明 如图,作AA′、BB′垂直准线,取AB的中点M,作MM′垂直准线.要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证

8、MM′

9、=

10、AB

11、由抛物线的定义:

12、AA′

13、=

14、AF

15、,

16、BB′

17、=

18、BF

19、,所以

20、AB

21、=

22、AA′

23、+

24、BB′

25、,因此只需证

26、MM′

27、=(

28、AA′

29、+

30、BB′

31、),根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.所以以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.三、探究与创新13.(2013·广东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,=a

32、n+1-n2-n-,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.(1)解 当n=1时,=2a1=a2--1-=2,解得a2=4.(2)解 2Sn=nan+1-n3-n2-n①当n≥2时,2S

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