2019年高考数学总复习 专题2.4 幂函数与二次函数导学案 理

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1、第四节　幂函数与二次函数最新考纲　1.了解幂函数的概念；掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象和性质；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图像定

2、义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上是减少的；在x∈上是增加的在x∈上是增加的；在x∈上是减少的对称性函数的图像关于x＝－对称2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常量．(2)常见的5种幂函数的图像(3)五种常见幂函数的图像与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图像定义域RRR{x

3、x≥0}{x

4、x≠0}值域R{y

5、y≥0}R{y

6、y≥0}{y

7、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)3．幂函数的图像和

8、性质(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.典型例题考点一　幂函数的图象和性质【例1】]（1）已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是(　　)A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【答案】

9、　A【解析】　设f(x)＝xα，由已知得α＝，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．（2）若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c【答案】　B【解析】　由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d，故选B.（3）已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm－3，则m为________．【答案】2或－1【解析】若函数为幂函数，则m2－m－1＝1，解得

10、m＝2或m＝－1.(4)若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．【答案】－1≤a＜【解析】易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.(5)[2016·全国卷Ⅲ]已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)A．b

11、而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)α的正负：当α>0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；当α<0时，图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时曲线下凹；当0<α<1时曲线上凸，当α<0时曲线下凹；在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．2.在比较幂值的大小时，必须

12、结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．【变式训练1】(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)【答案】C【解析】设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2，∴α＝，因此f(x)＝x，根据图象的特征，C正确.(2)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)A.B.1C.D.2【答案】C【解析】由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.(3)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(

13、0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)A.－3B.1C.2D.1