四川大学锦城学院微积分(二)期末复习题答案-A卷.pdf

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1、四川大学锦城学院期末复习题一、填空题03cos()tdt2òx3-×3xxcos1.lim==lim-cos01=-32xx®®00sin3xx¶z¶z2.设x+2y+z-=20xyz,求_____,_______¶x¶y解令F(x,y,z)=x+22y+-zxyz,则yzxzxyF¢=-1,F¢=-2,F¢=-1,xyzxyzxyzxyz¶zFx¢yz-xyz¶zFy¢xz-2xyz=-=,=-=¶xF¢xyz-xy¶yF¢xyz-xyzz3723.òx9-xdx=答＝0，(奇函数在对称区间的积分)-3111y4.dxf()x，y

2、dy=（交换积分次序）答dyf()x，ydyòò0x2òò00225.设z=+lnxy，则dz=122xdxydy答Qz=+ln()xydz=+22222x++yxy¥nn25x16．å的收敛半径R=答:n=1n57、下列四个级数中，¥¥¥¥n+1n1221n+å5、å(-1)、å4、ån=1n-2n=1nn=1nn=173n-n+1¥21n+¥n+1n5-2发散的是答:å,注å5敛Þ®1n=173n-n=1n-214n二、计算下列定积分3231.òxx+2dx2..òtlntdt213333解1原式=ò(x+2-2)x+2d(x

3、+2)=òò(x+2)2d(x+2)-2x+2dx(+=2)L2224312242tlntt15解2.原式=lntdt=-dt=-4ln2òò14114416三、判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散。说明理由¥¥nn2n-19

4、

5、un+11.å(-1)(条件收敛)2.å(-1)(绝对收敛)lim0=n=2nn=1n!n®¥

6、

7、un2四、计算二重积分òò(x+y)dxdy，其中D是由曲线xy=和直线xy+=2所围成。D2121-yy解:曲线交点(4,-2),(1,1)Þdy(x+=y)dx(2-=)3dyò--22òòy222五、

8、1.求曲线y=2x+=3,yx围成的面积.解画斜线部分在x轴上的投影区间为[-1,3].所求的面积为32213332A=(2x+3-x)dx=(x+3xx-=)

9、.ò-133-122.求曲线y=2x+=3,yx围成的几何图形绕x轴旋转体积..3324解V=ppòò(2x+3)dx-=xdxL-=11222¶z六、z=f(xy,xy);其中f具有连续二阶偏导数,求2¶x22解zx=f1¢×y+f2¢×2xy=yf1¢+2xyf2¢,222zxx=y[f11¢¢×y+f12¢¢×2xy]+2yf2¢¢+2xy[f21¢¢×y+f22¢¢

10、×2xy]43322=yf11¢¢+2xyf12¢¢+2yf2¢¢+2xyf21¢¢+4xyf22¢¢4322=yf11¢¢+4xyf12¢¢+2yf2¢¢+4xyf22¢¢,dyx七、+=ye;dx-òòdxxdx--x2xxx解y=e(òòe×edx+C)=e(edx+C)=+eC()2¥xn八、1.求幂级数å的收敛区域及和函数.n(n+1)n=1¥1n解幂级数的收敛域为[－1,1]略.设和函数为S(x),即S()xx=ån=1nn(+1)¥¥1n-1211n+Þ=S¢()xxåÞ令g(x)==xS¢()xxån=1(n+1)n

11、=1(n+1)¥nxxt-+11Þg¢()xx==åÞg(x)-g(0)=òdt=-xx--ln(1)n=11-x01-t2-xx--ln(1)Þg(x)=xS¢(x)=-xx--ln(1)ÞS¢(xx)=¹,02x-xx--ln(1)ÞS¢(xx)=¹,02x¥21n-2(n-1)2.ånx;n=12解收敛域(-2<

12、ÞS(xx)=,(-2<<2)ò02-x2(2)-x22九.S=xy+2xz+2yz(x>0,y>0,z>0).在xyz=k下的最大值.法1作函数F(x,y,z)=xy+2xz+2yz+l(xyz-k).ìF=y+20z+=lyzxïïF=x+20z+=lxzy解方程组í,ïF=2x+20y+=lxyzïîxyzk=3313得唯一可能的极值点(2k,2k,2k).2k法2：由条件xyz=k有z=代入原函数求无条件极值.xy