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1、数学---平面向量知识体系第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有又有的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量.模.零向量长度为的向量,其方向是任意的记作.单位向量长度等于的向量常用表示平行向量方向或的非零向量与共线可记为.与任一向量.共线向量向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量与相等记作.相反向量长度且方向的向量与为相反的向量,则.(2)的相反向量为.大小方向01相同相反平行共线相等相反相等相同2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律:a+b=.(2)结合律:(a+b)+c=.减法
2、求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差法则数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)
3、λa
4、=.(2)当λ>0时,λa与a的方向;当λ<0时,λa与a的方向;当λ=0时,λa=.λ(μa）=；(λ+μ)a=;λ(a+b)=.三角形平行四边形b+aa+(b+c)
5、λ
6、
7、a
8、相同相反0(λμ)aλa+μaλa+λb三角形3.共线向量定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使b=λa.题型一平面向量的有关概念典例分析【例1】给出下列五个命题:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若
9、a
10、=
11、b
12、,则a=b;③在ABCD中,一定有;④若m=n,n=p,则m=p;⑤若a∥b
13、,b∥c,则a∥c.⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段；⑦非零向量的单位向量是唯一的其中不正确的个数是()A.2B.3C.4D.5分析在正确理解有关概念的基础上,注意特殊情况是解决本题的关键.解选B.两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,故①不正确;
14、a
15、=
16、b
17、,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故②不正确;③、④正确；零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故⑤不正确.学后反思(1)着重理解向量以下几个方面:①向量的模;②向量的方向;③向量的几何表示;④向量的起点和终点.(2)判定两个向量的关系时,特别注意以下两种
18、特殊的情况:①零向量与任何向量共线;②单位向量的长度为1，方向不固定.举一反三1.已知下列命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b中的一个方向相同;②在△ABC中,必有;③若,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;④若a与b均为非零向量,则
19、a+b
20、与
21、a
22、+
23、b
24、一定相等.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：①错误,a+b=0时,就不满足结论;②正确,∵;③错误,A、B、C三点还可以共线;④错误,只有a与b同向时才相等.答案：B题型二平面向量的线性运算分析根据所求证的等式，将EF用含AB、DC的和、差形式表示，充分运用加、减法的运算法则完成.证明方
25、法一：在四边形CDEF中，EF+FC+CD+DE=0.①在四边形ABFE中，EF+FB+BA+AE=0.②①+②，得【例2】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：.（EF+EF）+（FC+FB）+（CD+BA）+（DE+AE）=0.∵E、F分别是AD、BC的中点，∴FC+FB=0，DE+AE=0，∴2EF=-CD-BA=AB+DC，即.方法二：取以A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.∵E为AD的中点，∴∵F是BC的中点，∴.又举一反三2.如图，在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA;在OB上取点D,使,DC与OA交于E;设试用a,b表示向量和向量.解析
26、：∵A是BC的中点,∴OA=(OB+OC),即OC=2OA-OB=2a-b.DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.(2)注意特殊点的应用.如F点是BC的中点，则（其中A可以是任意一点）.（3）在方法二中，向量的起点A可改取平面内的任意一点O，用同样的方法亦可证出.对于本题结论,要和梯形的中位线定理区分开，梯形的中位线定理只有在AB∥CD时才成立，且得出的是长度关系；而本题结论对于任意平面四边形均成立，且得出的是向量关系，对于长度关
27、系不一定成立（只有在AB与DC共线时成立）.【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.题型三向量的共线问题分析用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用向量共线定理，得到BD=λAB(或AD=λAB等).BD∥AB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合,从而由向量共线推出三点共线.证明∵BC=2a+8b,C
