2018-2019学年高中数学第八章解三角形8.3解三角形的应用举例一学案湘教版必修4.doc

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1、8.3　解三角形的应用举例(一)[学习目标]　1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.2.会利用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决与方位角有关的距离问题.[知识链接]在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角.(如图所示)(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝tanα＝(i为坡比，α为坡角).(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线.[预习导引]1.方位角从指正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做方位角.2.方向角指北或指南的方向线与目标线所

2、成的小于90°的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式.要点一　正弦、余弦定理在航海中的应用例1　如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2

3、AB·ACcosA＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝海里.又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.规律方法　航海问题是解三角形应用问题中的一类很重

4、要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.跟踪演练1　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解　如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里，B＝90°＋30°＝120°，由＝得：sin∠CAB＝＝＝＝.∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°.∴∠DAC＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相

5、遇.要点二　正弦、余弦定理在测量距离中的应用例2　某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解　如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝＝，所以sinB＝.在△ABC中，AC＝＝＝24(千米).由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35或AB＝－11(舍去).∴AD＝AB－BD＝15(千米)

6、.∴故此人在D处距A还有15千米.规律方法　由问题中的有关量提炼出三角形中的元素，用正弦、余弦定理解三角形.跟踪演练2　已知A船在灯塔C北偏东80°方向，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°方向，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为______km.答案　－1解析　如图，由题意可得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝－1.1.已知两座灯塔A，B与海洋观测站C的

7、距离相等，灯塔A在观测站C的北偏东40°，灯塔B在观测站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°答案　B解析　如下图，因△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2.一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观测灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观测灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A.10nmileB.10nmileC

8、.20nmileD.20nmile答案　A解析　如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝40