二面角及其度量.ppt

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1、3.23.2.4二面角及其度量理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第三章空间向量与立体几何考点三3．2.4二面角及其度量山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.问题1：平面BCD与平面ACD的交线是直线CD吗？提示：是．问题2：如何求水平地面与斜坡面所成的角α？1．二面角的相关概念(1)二面角及其

2、平面角半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，都叫做半平面二面角从所组成的图形叫做二面角，叫做二面角的棱，叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作平面角在二面角αlβ的棱上，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则叫做二面角αlβ的平面角其中的每一一条直线出发的两个半平面这条直线每个半平面αlβAlB任取一点O∠AOB部分(2)二面角的范围设二面角为α，则．2．直二面角平面角是的二面角叫直二面角．3．二面角的度量(1)分别在二面角αlβ的面α，β内

3、，作向量n1⊥l，n2⊥l，则可以用〈n1，n2〉来度量二面角αlβ.(2)设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与二面角αlβ大小或．0°≤α≤180°直角相等互补1．二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的．2．二面角的大小通过平面角的大小来度量．3．将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时，应注意二面角是锐角还是钝角的判断．[例1]如图：ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A－VB－C的余弦值．[思路点拨]先判断△VAB，△VBC为等边三角形，取VB的中

4、点E，连接AE，CE，再证明∠AEC是二面角的平面角．[一点通]用定义求二面角的步骤：(1)作(找)出二面角的平面角；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角．1．在本例中，若点E为VB的中点，求二面角E－AC－B的大小．解：连接BD，记AC∩BD＝O，则AC⊥BD.又VA＝AB＝VB＝BC＝VC，∴VB⊥AE，VB⊥EC，∴VB⊥平面EAC，AE＝EC.连接EO，则EO⊥AC，2.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(

5、1)证明AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VDB夹角的正切．解：(1)证明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交线为AD.AB⊂平面ABCD，AB⊥AD.∴AB⊥平面VAD.[例2]矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好落在AB上，如图所示，求二面角B－AC－D的余弦值．3．如图所示，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值．[

6、例3]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．[思路点拨](1)先由BD2＋AD2＝AB2得到BD⊥AD，进而证得BD⊥平面PAD.(2)求出平面APB的法向量n，平面PBC的法向量m，由cos〈m，n〉求得．[一点通]设n1、n2分别是平面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小．解题步骤如下：4．(2012·广东高考)如图所示，在四

7、棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系．由(1)知BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形，∴AB

8、＝BC＝CD＝AD＝2.点击下图进入“应用创新演练”