含参量积分的分析性质和应用.doc

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1、word格式含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期：2012年11月5日....word格式含参量积分的分析性质及其应用1.含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1若二元函数在矩形区域上连续,则函数=在[a,b]上连续.例1设（这个函数在x=y时不连续）,试证由含量积分所确定的函数在上连续.解因为,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,xy则1,y<0当y>1时,f

2、(x,y)=-1,则,即F(x)=1-2y,0y<0-1y>1又因F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在上连续.例2求下列极限：（1）;(2).解（1）因为二元函数在矩形域R=[-1,1][-1.1]上连续,....word格式则由连续性定理得在[-1,1]上连续.则.（2）因为二元函数在矩形域上连续,由连续性定理得,函数在上连续.则例3研究函数的连续性,其中f（x）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解对任意,取,使,于是被积函数在上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F（y）在区间上连

3、续,由的任意性知,F（y）在上连续.又因,则F（y）在上连续.当y=0处.由于为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.,从而,但F(y)在y=0处不连续,所以F（y）在上连续,在y=0处不连续.定理2设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)

4、}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数F(x,y)=在[a,b]上连续.例4求.解记.由于都是和x的连续函数,由定理2知在处连续,所以.例5证明函数在上连续.证明对,令x-y=t,可推得....word格式.对于含多量正常积分

5、,由连续性定理可得在上连续,则在上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3若函数与其偏导数都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则=在[a,b]上可微,且.定理4设,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c,d为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F=在[a,b]上可微,且定理5若函数及都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上及皆存在,并且a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b(c≤y≤d),则.证明考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于.现在分别考虑在点处得

6、导数.由定理5可得.由于,所以.应用积分中值定理.这里在和之间.再注意到的连续性及b(y)的可微性,于是得到.....word格式同样可以证明于是定理得证.例6设求.解应用定理5有.例7设在的某个邻域U上连续,验证当时,函数（1）的n阶导数存在,且解由于（1）中被积函数及其偏导数在U上连续,于是由定理4可得同理如此继续下去,求得k阶导数为特别当时有....word格式于是例8计算积分.解考虑含参量积分显然且函数在R=[0,1][0,1]上满足定理3的条件,于是.因为所以因此.另一方面所以1.3含参量正常

7、积分的可积性定理6若f在矩形区域R=×上连续,则和分别在....word格式和上可积.其中=dy,x,=dy.这就是说：在f连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：与,简便记为与,前者表示f先对y求积然后对x求积,后者则表示先对x求积再对y求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f在矩形区域R=×上连续,则=.定理7若f在矩形区域R=×上连续,g在上可积,则作为的函数在上连续,且=.注意推论中闭区间可以换成开区间或无穷区间

8、,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9求I=（b>a>0）.解由得I==,因为在矩形区域上连续,由定理可得I===ln.例10试求累次积分与,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：======.=,由=,同理可得....word格式=,所以=–.即,这与定理不符.因为==不存在,所以在点处极限不存在,即在矩形区域上不连续,不满足定理的条件.例11应用积分号下的积分法求积分,.解令,.因为所以在上连续.所以==.令=,,0,.则在矩形区域上连续,由定理可知===.2.含参量反常积分的分析

9、性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8设在）上连续,若含参量反常积分=在I上一致连续,则Φ（x）在I上连续.....word格式推论在）上连续,若在I上內闭一致收敛,则Φ（x）在I上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：例12证明⑴⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵在[0,b]上不一致收敛.证明⑴x,y,有,而收敛（a>0）,由M判别法,知反常积分在[a,b]（a>0）上一致收敛.⑵因Φ（x）==0