西南财经大学高等代数课件：秩.ppt

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1、不同的矩阵有相同的标准形;一个矩阵可经行初等变换化为不同的阶梯形矩阵,但不同的阶梯形矩阵中非零行的个数却是相同的.这都是因为矩阵的本质特征——矩阵的秩.定义2.18设矩阵称位于A的某k行、k列的交叉点处的元素依照其原来的相对位置成的k阶行列式为A的k阶子式.所构§2.8矩阵的秩例1设则是A的全部4个3阶子式;等是A的2阶子式;等是A的1阶子式.定义，则称为行满秩阵；，则称为列满秩阵；定义2.19矩阵A的非零子式的最高阶数称作矩阵的秩.记作对于矩阵,显然有,称定义阶方阵，若为满秩阵.,则称为降秩阵.若命题1矩阵A的秩为r的充要条件是A至少有一个r阶非

2、零子式且全部r+1阶子式(如果有的话)都等于零(从而更高阶的子式亦为零);注1零矩阵没有非零子式,规定其秩为零;命题2设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,则R(AB)≤min{R(A),R(B)}命题3设,则设U为m×n矩阵,V为n×m矩阵，且m>n例2证明证由定义2.19知,要求矩阵A的秩需计算多个行列式的值.阶梯形矩阵的秩恰为其非零行的个数.定理2.7矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩.证只须证明一次初等行变换不改变矩阵的秩.下面只就第(3)种初等行变换进行证明,其余两种请同学们下去自行证明.D为B的任意一个r+1阶子式.设若D中不含有B的第i行元素

3、,则D是A的r+1阶子式,故D=0.若D中含有B的第i行元素,则由行列式的性质4和性质3,D可依第i行拆成两个行列式之和D=D1+kD2,其中D1是A的r+1阶子式,故D1=0,当D中不含有B的第j行元素时,则D2至多与A的某个r+1阶子式相差一个负号,从而D=0.当D中含有B的第j行元素时,因D2有两行完全相同,D=0.综上所述而B又可经过一次初等行变换变成A,即故同理可证推论矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩.从而证由矩阵A的秩的定义,当然有且对A所作的列初等变换对AT来说则是初等行变换.由定理2.7知,它不改变AT的秩,从而A的秩亦不改变.求矩阵

4、的秩的更有效(比直接利用定义)的方法为:利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形,然后数其非零行的行数即得矩阵的秩.例3求的秩.解因为A是n阶矩阵，所以存在可逆矩阵P、Q使得取，显然有秩=且命题4设R(A)=r,则有可逆矩阵P,Q,使得例4P645命题5设A,B均为,则A和B等价当且仅当证A和B等价问：若命题6任意非零矩阵都可经初等行变换化为唯一的行简化阶梯矩阵.关于矩阵秩的若干结论（2）（3）（4）（1）（5）（6）（7）其中的子矩阵（9）对于ｎ阶方阵Ａ，（8）