线性代数课件--第一章 矩阵.ppt

《线性代数课件--第一章 矩阵.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性代数第一章矩阵第二章行列式第三章线性方程组第四章n维向量空间第五章特征值与特征向量第六章二次型第一章矩阵第一节矩阵的概念第二节矩阵的运算第三节逆矩阵第四节分块矩阵第一节矩阵的概念1.1矩阵的概念矩阵是从数表抽象出来的概念。例如，考察n个变量的线性方程组其各常数aij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)为方程组的系数。方程组系数组成的数表确定了方程组。因此可由该数表来研究方程组。1.1矩阵的概念又如，某班同学某学期成绩表组成了一张二维数表，研究该数表可获得该班同学的有关信息。事实上应用数表可研究的问题很多。所以有必要对数表进行研究。学号线代概率英语美学2005

2、300010018992868220053000100276858785……………200530001030908775771.1矩阵的概念1.1矩阵的概念例1.2设平面直角坐标系xOy绕原点O旋转角α后，得到新的坐标系x1Oy1，如下图所示。平面上一点A在这两个坐标系中的坐标(x,y)和(x1,y1)之间有关系1.1矩阵的概念例1.5甲、乙二人玩掷硬币的游戏。两人同时各掷一枚硬币。若两枚硬币以相同的一面向上，乙付给甲一元，反之甲付给乙一元。则可用如下矩阵表示各种情况下甲的收益，叫做甲的收益矩阵。甲乙正面反面正面反面1-1-111.1矩阵的概念矩阵的相等若两个m×n矩阵

3、A和B的对应元素都相等，即aij=bij(1≤i≤m,1≤j≤n)，称A和B相等，记为A=B。定义1.2主对角线，主对角线元1.1矩阵的概念(2)对角矩阵1.1矩阵的概念(3)单位矩阵主对角线元全是1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为En。节数n不必要时可省去，这时单位矩阵记为E。1.1矩阵的概念第二节矩阵的运算定义1.4矩阵的和1.2矩阵的运算定义1.5矩阵的差1.2矩阵的运算定义1.6矩阵的数乘1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算由上述举例可知，矩阵乘法与一般数值乘法有以下三点不同：第一，矩阵乘法不

4、满足交换律。AB有意义，BA可能无意义(例1.9)；即使AB和BA都有意义，其行列数未必相同(例1.8)；即使AB和BA都有意义，且其行列数相同，它们未必相等(例1.10)。故一般情况下，ABBA。第二，当AB=0时，不能推出A=0或B=0。如例1.10，AB=0，但AO，BO1.2矩阵的运算第三，当AB＝CB且BO时，也不能断定A=C。例如1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算例1.11求对角矩阵A=diag(a1,a2,…,an),B=diag(b1,b2,…,bn)的乘积。解所以AB仍是对角矩阵，且AB=diag(a1b1,a2

5、b2,…,anbn)。例1.12设A,B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三角矩阵。设A,B是n阶下三角矩阵,试证明AB仍是下三角矩阵。1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算例1.14某生态公园现有某种鸟类5000只，其中患病的有20%，设每年健康的鸟有20%患病，而患病的鸟有60%治愈。求两年后健康的鸟和患病的鸟各有多少？解：设转移矩阵A为：1.2矩阵的运算定义1.8矩阵的转置1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算定义1.9对称矩阵，反对称矩阵1.2矩阵的运算1.2矩阵的运算第三节逆矩阵许多实际问题需要研究包含n个

6、未知量x1,x2,…,xn的线性方程组A=(aij)m×n称为(*)的系数矩阵，x=(xj)n×1称为(*)的未知数向量，b=(bi)m×1称为(*)的常数项向量。则上述线性方程组可写成矩阵方程Ax=b使用将矩阵乘法看作线性变换的观点，解上述线性方程组就是根据系数矩阵A，从像向量b求出原像向量x。1.3逆矩阵解代数方程ax=b时，可在方程两边同乘a-1，解得x=a-1b。可否用类似想法来解矩阵方程？1.3逆矩阵惟一存在1.3逆矩阵1.3逆矩阵1.3逆矩阵1.3逆矩阵1.3逆矩阵1.3逆矩阵第四节分块矩阵1.4分块矩阵1.4分块矩阵1.4分块矩阵分块矩阵也可以按普通矩阵

7、的运算方法运算。前提是:所有小矩阵之间的运算有意义。1.4分块矩阵1.4分块矩阵1.4分块矩阵1.4分块矩阵1.4分块矩阵1.4分块矩阵1.4分块矩阵1.4分块矩阵1.4分块矩阵对分块矩阵运算的说明：(1)分块矩阵的加法和乘法必须有意义。(2)注意分块矩阵乘法的顺序(因矩阵乘法一般不满足交换律)。(3)做分块矩阵的转置运算时，不仅各子矩阵本身要转置，它们在分块矩阵中也要转置。分块矩阵在矩阵的理论和应用中都是重要的：利用分块矩阵可将矩阵中不同部分各自的规律清楚地表示出来，方便运算或推理。适当的分块有助于理解矩阵的概念。例如，考虑矩阵方程Ax=b，A，x