2019高考数学考点突破——选考系列：绝对值不等式学案.doc

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1、绝对值不等式【考点梳理】1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么

8、a－c

9、≤

10、a－b

11、＋

12、b－c

13、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式

14、x

15、

16、x

17、>a的解法：不等式a>0a＝0a<0

18、x

19、

20、－a＜x＜a}∅∅

21、x

22、>a{x

23、x＞a或x＜－a}{x∈R

24、x≠0}R(2)

25、ax＋b

26、≤c，

27、ax＋b

28、≥c(c＞0)型不等式的解法：①

29、ax＋b

30、≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②

31、ax＋b

32、≥c⇔ax＋b≥c或ax

33、＋b≤－c.(3)

34、x－a

35、＋

36、x－b

37、≥c，

38、x－a

39、＋

40、x－b

41、≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解．【考点突破】考点一、绝对值不等式的解法【例1】已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝

42、x＋1

43、＋

44、x－1

45、.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围.[解析](1)当a＝1时，f(x)＝－x2＋x＋4，f(x)≥g(x)⇔x2－x＋

46、x＋1

47、＋

48、x－1

49、－4≤0.①当x>1时，f(x)≥g(x)⇔x2

50、＋x－4≤0，解之得1

51、的几何意义，结合数轴直观求解.【对点训练】已知函数f(x)＝

52、x＋1

53、－2

54、x－a

55、，a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解析](1)当a＝1时，f(x)>1化为

56、x＋1

57、－2

58、x－1

59、－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x＜2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a

60、＋1)．因此△ABC的面积S＝

61、AB

62、·(a＋1)＝(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).考点二、绝对值三角不等式性质的应用【例2】对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式

63、a＋b

64、＋

65、a－b

66、≥M·

67、a

68、恒成立，记实数M的最大值是m.(1)求m的值；(2)解不等式

69、x－1

70、＋

71、x－2

72、≤m.[解析](1)不等式

73、a＋b

74、＋

75、a－b

76、≥M·

77、a

78、恒成立，即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.因为

79、a＋b

80、＋

81、a－b

82、≥

83、(a＋b)＋(a－b)

84、＝2

85、a

86、，当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时

87、等号成立，

88、a

89、≥

90、b

91、时，≥2成立，也就是的最小值是2，即m＝2.(2)

92、x－1

93、＋

94、x－2

95、≤2.法一：利用绝对值的意义得：≤x≤.法二：①当x＜1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2，解得x≥，所以x的取值范围是≤x＜1.②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2，得x的取值范围是1≤x≤2.③当x＞2时，原不等式为(x－1)＋(x－2)≤2,2＜x≤.综上可知，不等式的解集是.【类题通法】1．(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab≥0时，

96、a＋b

97、＝

98、a

99、＋

100、b

101、；当ab≤0时，

102、a－b

103、＝

104、a

105、＋

106、b

107、；当(a－b)(b－c)

108、≥0时，

109、a－c

110、＝

111、a－b

112、＋

113、b－c

114、.(2)对于求y＝

115、x－a

116、＋

117、x－b

118、或y＝

119、x＋a

120、－

121、x－b

122、型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．【对点训练】已知函数f(x)＝

123、x＋m

124、－

125、5－x

126、(m∈R)．(1)当m＝3时，求不等式f(x)>6的解集；(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围．[解析](1)当m＝3时，f(x)>6，即

127、x＋3

128、－

129、5－x

130、>6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并