自主招生(数学).doc

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1、自主招生交流试题(清华、北大、交大等)2009，11清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70%2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围3、对

2、考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。几个热点问题方程的根的问题：1.已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结论．（08交大）2.设，试证明对任意实数：（1）方程总有相同实根；（2）存在，恒有．（07交大）3.（06交大）设4.（05复旦）在实数范围内求方程：的实数根．5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．6.解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大)凸函数问题11.(2009复旦)如果一个函数f(x)在其定义区

3、间内对任意x，y都满足，则称这个函数时下凸函数，下列函数（1）（2）（3）（）（4）中是下凸函数的有-------------------。A．(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1)（tanx1+tanx2）>tan;(2)（tanx1+tanx2）sin;(4)（sinx1+sinx2）

4、．(2),(4)3.（09，清华）证明：柯西不等式1．(03交大)已知，x+2y＝1，则的最小值是______________．2.已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值。13．P为△ABC内一点，它到三边BC、CA、AB的距离分别为，S为△ABC的面积，求证：．（09南大）4.给定正整数n和正常数a，对于满足不等式的所有等差数列a1,a2,a3,…,和式的最大值=_______.（07复旦）A.;B.;C.;D..5.（07复旦）当a和b取遍所有实数时，则函数所能达到的最小值为_

5、____________.A.1;B.2;C.3;D.4.基础题1.求的单调区间及极值.(2007年清华)2.设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和.求.(2007年清华)3.圆内接四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，求ABCD的外接圆半径．(北大2009)4.已知一公差为正整数无穷项等差数列，其中有3项：13，25，41．求证：2009为数列中一项．（2009，北大）5.求最小正整数，使得为纯虚数，并求出．(06,清华)15.已知为非负数，，

6、求的最值．(06,清华)6.已知为等差数列，为等比数列，求的值．(06,清华)7.比较与的大小并说明理由．（04复旦）8.求证：边长为1的正五边形对角线长为（08北大）.10.四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC。（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形。（2）设底面为BCD，设另外三个面与面BCD所形成的二面角为α，β，γ。求证：cosα+cosβ+cosγ=1。（08北大）11.（09清华）（1）证明：（2）已知x，y，z>0，a，b，c是x，y，z的一个排列。求证：。12

7、.求所有3项的公差为8的自然数数列，满足各项均为素数。13.求所有满足的非直角三角形（这里表示不超过的最大整数）(2009年南京大学自主招生试题)14.求由正整数组成的集合，使中的元素之和等于元素之积(06，清华)。15.的整数部分为A，小数部分为B。（1）求A,B；（2）求；1（3）求。（09，清华）16．（09复旦）.定义全集X的子集AX的特征函数为这里，表示A在X中的补集。那么，对A，BX，下列命题中不准确的是_______________.A．AB≤，∀XB．，∀Xc.，∀XD.+，∀X1

8、7．（09复旦）.半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球，则小球半径r的最大可能值是_______________。A．B.C.D．中等题18.给出一个整系数多项式，使有一个根为（2009清华）19.．通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，．设，，表示和中相对应的元素不同的个数．（１）问存在多少个5元数组使得；（２）问存在多少个5元数组使得；1（３）令，，，求证：．（08交大）20．证明：若f（f（x））有唯一不动点，f（x）也有唯一不动点（09交大）21.已知，△ABC是正