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时间:2020-02-05
《《一 数学归纳法(2)》同步练习2.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《数学归纳法应用举例(习题课)》同步练习一、选择题1.用数学归纳法证明1+r+r2+…+rn=(n∈N,r≠1),在验证n=0时,左端计算所得项为( ).A.1B.rC.1+rD.1+r+r2答案 A2.n条共面直线任何两条不平行,任何三条不共点,设其交点个数为f(n),则f(n+1)-f(n)等于( ).A.nB.n+1C.n(n-1)D.n(n+1)答案 A3.设f(n)=++++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于( ).A.B.C.+D.+-答案 D4.在数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证( ).A.n=1成立B.n=
2、2成立C.n=3成立D.n=4成立答案 C5.用数学归纳法证明“3、归纳法证明不等式f(2n)>时,f(2k+1)比f(2k)多的项数是________.答案 2k三、解答题8.已知Sn=1++++…+(n>1,n∈N*).求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).证明 (1)当n=2时,S2n=1+++=>1+,不等式成立.(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立,即S2k=1++++…+>1+,当n=k+1时,S2k+1=1++++…+++…+>1+++…+>1++=1++=1+.故当n=k+1时不等式也成立,综合(1)(2)知,对任意n∈N*,n≥2,不等式S2n>1+都成立.9.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何4、三条不共点,求证:这n条直线把平面分成f(n)=个部分.证明 (1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分,而f(1)==2,∴命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k条直线把平面分成f(k)=个部分.则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线不平行,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成k+1段,每一段把它所在的平面区域分成两部分,故新增加了k+1个平面部分.∵f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1==,∴当n=k+1时命题成立5、.由(1)(2)可知,当n∈N*时,命题成立.10.已知函数f(x)=x3-x2++,且存在x0∈,使f(x0)=x0.(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;(2)设x1=0,xn+1=f(xn),y1=,yn+1=f(yn),其中n=1,2,….证明:xn0,∴f(x)是R上的单调增函数.(2)∵00=x1,y2=f(6、y1)=f=<=y1.综上,x1
3、归纳法证明不等式f(2n)>时,f(2k+1)比f(2k)多的项数是________.答案 2k三、解答题8.已知Sn=1++++…+(n>1,n∈N*).求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).证明 (1)当n=2时,S2n=1+++=>1+,不等式成立.(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立,即S2k=1++++…+>1+,当n=k+1时,S2k+1=1++++…+++…+>1+++…+>1++=1++=1+.故当n=k+1时不等式也成立,综合(1)(2)知,对任意n∈N*,n≥2,不等式S2n>1+都成立.9.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何
4、三条不共点,求证:这n条直线把平面分成f(n)=个部分.证明 (1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分,而f(1)==2,∴命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k条直线把平面分成f(k)=个部分.则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线不平行,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成k+1段,每一段把它所在的平面区域分成两部分,故新增加了k+1个平面部分.∵f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1==,∴当n=k+1时命题成立
5、.由(1)(2)可知,当n∈N*时,命题成立.10.已知函数f(x)=x3-x2++,且存在x0∈,使f(x0)=x0.(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;(2)设x1=0,xn+1=f(xn),y1=,yn+1=f(yn),其中n=1,2,….证明:xn0,∴f(x)是R上的单调增函数.(2)∵00=x1,y2=f(
6、y1)=f=<=y1.综上,x1
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