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1、《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节矢量与张量代数一、矢量代数令A=A&+A>e2+A^e3B=B1e1+B2e2+B3e.则有aA=+aA2e2+€zA3e3A+B=(Aj+B
2、)e(+(4+Bry)e0+(企+B.)e.A•B=(i4
3、C
4、+J•(目勺+艮+艮e?)=人+A^BO+A3B3AxB=(人心+A2e2+A3e3)x(B1e1+B2e2+B3e3)=AQqxe,+xe2+4]8&xe3xe,+A2B2e2xe2+A2B3c2xe3+A3B,e3xq+4辱3xe2+A3B3e3xe3又因为勺x
5、e,=0勺xe2=e3e,xe3=-e2e2xej=-e3e2xe3=ee3xe3=0则AxB=(A.B._A3B2)el+(A3B1-AlB3)e2+(A,B2~A2Bl)e.习题1、证明下列恒等式：1)(AxB)>(BxC)x(CxA)=[A>(BxC)]22)(AxB)<(CxD)=[A<(CxD)]B-[B>(CxD)]A2、请判断下列矢量是否线性无关?A=2e,-e2+5其屮勺单位为正交的基矢量。*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义:i表示行，j表示列；m和n相等表示为方阵，称为m（或n）阶矩阵。AiA>iA2a2
6、2A3血(ij=l,2,3)令表示对角元素。如果一个矩阵[A]只有观不为零，则[A]为对角阵。对角元素为1的对角阵称为单位矩阵[I],如果是3阶单位矩阵，_100_则可写为：[1]=010001「300_而对角阵[A]可取为：[A卜0-20001MBMB矩阵的迹：一个矩阵的对角元素之和，可称为矩阵的迹。如果一个矩阵只有一行或者一列元素，则可用一个下标表示，例如：、'X;]=x2[丫卜化呂Y3}其可用矢量分量表示。2、矩阵的运算:（1）、矩阵求和定义：两个矩阵[A]和[B],即L」加LJmn[A]=Ajji—1,2y••••
7、••jyioj=1,2,••••••n[B卜国]则两矩阵之和为:[c,]=[a,+b.<标量乘积为：aA.]=]矩阵Z和满足:a、[A]+[B卜[B]+[A]b、[A]+([B]+[C])=([A]+[B])+[C]c、[A]+[O]=[O]+[A卜[0]d、[A]+[-A]=[0]e、q([A]+[B])=q[A]+q[B]f、([A]+[B])[C卜[A][C]+[B][C](2)、矩阵的转置，对称与反对称矩阵令［A］是一个mxn的矩阵，且例1、524令[A]=321436534[Af=2234164368I2[B]7
8、=4638对于[A]和[B],有1)([Af)=[A]；则［A『和［B『分别为2)([A]+[B])=[Af+[Bf3)对于反对称阵［A］,其屮观=0。(3)、矩阵的乘积，令W卜［每］是加"阶矩阵，［B卜国.］是和卩阶矩阵，则矩阵乘积［A］［B］=［C］可写成:Ci}=^AikBkj(i=l,2,3m；j=l,2,3p)k=l注意：1)如果[A]是i个加"的矩阵，[B]是一个“xq的矩阵，则[A][B]只有在n=p时成立,同样,只有在q=m是才成立。2)[A][B]和[B][A]当且仅当[A]和[B]是同阶方阵是成立。3)
9、[A][B]和[B][A]即使都成立，一般情况下两者也不想等,[A][B]丰[B][A],表示矩阵的乘积不满足交换律。5)4)如果[A]是方阵，则[A]2=[A][A],[A]3=[A][A]2=[A]2[A]([A][B])[C]=[A]([B][C])；6)「5-2r3-124876ri:B=-6357243LJ96-21-190例2、令[A]，求[A][B],([A][B]/和[B]»『「5-2r■36-5-27__3-124876-6357——3649398724396-219281839_190-57284359
10、解:[A][B]=36369一57-5492828-23918437873959则([A][B])r'3-69_「36369-57「_582-f_136-2749——-549282825一21630-23918434711_7873959=([A][B]j「(4)、矩阵的逆和行列式的值式的值定义为:det[A]=
11、^
12、=f=l其屮
13、九
14、为码去掉第i行和第1列的剩余行列式。例1、1）如果[A卜"La2则[A]=[知_25-1则其行列式值为:2)令[A]=1432-353屮lAl=S(_l)^ilAil/=1/八24335-
15、145-1=(T)%_35+(_1)°21-35+(_1)°31-35=2x[4x5-(-3)x3]+(-l)x
16、x[5x5-(-3)x(-
17、)]+2x(5x3-(-l)x4)=2x29-22+2x19=74另外，3x3矩阵[A]的行列式的值也可以表示为：Aj=£ijkaia2ja3k矩阵的行列式的值
