数学分析（三）试卷1.doc

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1、数学分析（三）试卷1一叙述题（每小题10分，共30分）1.叙述含参变量反常积分£/（x,y）dx一致收敛的Cauchy收敛原理。2.叙述Green公式的内容及意义。3.叙述n重积分的概念。二计算题（每小题10分，共50分）1.计算积分/=其中C为椭圆2兀$+3）<=1,沿逆时针方向。2.已知z=/（x,z-y）,其屮/G/,v）存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z关于22求椭球体"=I的体积。兀,y的二阶偏导数。3.4.若/为右半单位圆周，求jlyIdso5.计算含参变量积分1（a）=£ln（l-2t/cosx+（72

2、）Jx（

3、tz

4、<1）的值。三讨论题（每小题10分，共20分）1.若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。试讨论积分r广”adx/—］9~T」）1+6TJC在每一个固定的a处的一致收敛性。2.讨论函数F（y）=f'少恋的连续性,其屮/（兀）在［0,1］上是正的连续函数。』兀一+）厂答案一叙述题（每小题10分，共30分）1.含参变量反常积分f^y^lx关于y在［c,d］上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的£〉0,存在与y无关的正数4。，使得对于任意的A；A>A0,

5、ffx.y）dx<£

6、,ye［c.d］成立。2.Green公式：设Q为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数Pd,y）,e（Ay）在D上具有连续偏导数，那么JPdx+QdycDc,8Q6P、…Dcz/vc/人其屮QD取正向，即诱导正向。Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。3.设。为上的零边界区域，函数w=/（x）在。上有界。将。用曲面网分成〃个小区域厶QpAQ2,...,AQh（称为。的一个分划）,记△匕为40,•的体积，并记所有的小区域AOJl勺最大育径为2。在每个AG,上任取一

7、点七，若;I趋于零时，和式/=!的极限存在且与区域的分法和点心的取法无关，则称/（X）在O上可积，并称此极限为/（X）在有界闭区域。上的〃重积分，记为I=^fdV=hm^f（Pi^Vi.Q•日计算题（每小题10分，共50分）7311.解令Z:x-——cos匚y=—sinf,则3•27—ydx+4）匸+4）卫A632.解令U=XZ,V=Z-则Svdudzdvdz~dx=^+Xdx'dx=dx'dz_dfdudfdv————I-——dxdudxdfdxd2zdfd2udx2dudx2+dudxydudzcvdz—=x—，—=

8、—dy內，労dy^dz_dfdudfdv————1~——dydudydvdy、2+dfd2v82ffdv^dvdx2dv2d2z8fd2u

9、d2f(逆T*dy2dudy2du2(內丿dvdy2dud2zdf82u

10、dxdydudxdyd2z_dfd2u+dx2dudx2dur+x—7(dxdx2釦2乞du+生比+dvdxdydfd2va2/favVr+6v24丿2dfd2v+?dvdx~dv~比丫z+x——dx丿2avYd£fir人勿丿dfd2v,57pydvIdx2dfd2ud2f(duydudy2du2Idfd2vd2

11、f(dvHHdvdy~dv~dyd2f(dz}2+dv2⑹丿、25]+少X——2dfd2zd2f1、1du<労Jdu2k◎丿dv餌5v2©J72d2zdfd2ud2fdxdydudxdydu~'duYduy@丿1切dvdxdydv2(flx人內丿df(dzd2z=———+xdu(dyd2fdz(dzJ+dxdyz+兀——dx)X——d丿+堂空£dvdxdy(=2+•.dv1丿由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。3.作广义极坐标变换x=arcos0,y=brsin0(a>0,b〉0,0v厂voo,05

12、&W2;r)°这时椭球面化为VcTb_D(M)儿儿acos0-arsin0bsrbrcos0于是=Jjz（x,.yWAT=JJ込（〃）6yQ（兀,y）DZdrcl6所以椭球体积71=f""IcJl-厂2•abrdr=—abc彳——J[-厂2）d（l一厂2）2232roi[厂Jl一厂2dr—abc。6V=—Trabco31.解/的方程为：x2+y2=l,x>0o由｝^=--yds=±y]l+y2dx=±JXdx=±什符号的选取应保证^>0,在圆弧段AC上,由于dx>0,故fdxcis而在圆弧段CB±,由于^<0,故fc

13、lxds=~¥所以•Ww侖+1>卜/、——dx[w5.解1（a）=£ln（l-2czcosx+o当avl时，由于1—2dcosx+»1—2”

14、+d~=（1-问）~>0,故ln(l-2°cosx+a2)为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。-2cos兀+2。f-ax1一2acos兀+6Ta2-