复变函数与积分变换 拉普拉斯变换的概念.ppt

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1、第九章Laplace变换§9.2Laplace变换的性质§9.1Laplace变换的概念§9.3Laplace逆变换§9.4Laplace变换的应用§9.1Laplace变换的概念一、Laplace变换的引入二、Laplace变换的定义三、存在性定理四、几个常用函数的Laplace变换一、Laplace变换的引入1.Fourier变换的“局限性”？当函数满足Dirichlet条件，且在上绝对可积时，便可以进行古典意义下的Fourier变换。由于绝对可积是一个相当强的条件，使得一些简单函数(如常数函数、线性函数、正弦函数与余弦函数等等)的Four

2、ier变换也受到限制。一、Laplace变换的引入1.Fourier变换的“局限性”？广义Fourier变换的引入，扩大了古典Fourier变换的适用范围，使得“缓增”函数也能进行Fourier变换，而且将周期函数的Fourier级数与Fourier变换统一起来。广义Fourier变换对以指数级增长的函数如等仍然无能为力；而且在变换式中出现冲激函数，也使人感到不太满意。一、Laplace变换的引入1.Fourier变换的“局限性”？在工程实际问题中，许多以时间t为自变量的函数(比如起始时刻为零的因果信号等)在t<0时为零，而有些甚至在t<0时根

3、本没有意义。因此在对这些函数进行Fourier变换时，没有必要(或者不可能)在整个实轴上进行。基本想法使得函数在t<0的部分补零(或者充零)；使得函数在t>0的部分尽快地衰减下来。(1)将函数乘以一个单位阶跃函数，(2)将函数再乘上一个衰减指数函数，这样，就有希望使得函数满足Fourier变换的条件，从而对它进行Fourier变换。一、Laplace变换的引入2.如何对Fourier变换要进行改造？将上式中的记为s，就得到了一种新的变换：记为变量s的实部足够大。实施结果一、Laplace变换的引入2.如何对Fourier变换要进行改造？注意上述

4、广义积分存在的关键：二、Laplace变换的定义s的某一区域内收敛，即如果对于则称为的Laplace变换相应地，称为的Laplace逆变换或像原函数，设函数是定义在上的实值函数，定义复参数积分在复平面记为或像函数，记为的Laplace变换就是的Fourier变换。注P213定义9.1Laplace简介例要点进行积分时，确定s的取值范围，保证积分存在。P213例9.1P214例9.2P216例9.3若存在，收敛域(或者存在域)如何？有何特点？从上述例子可以看出(1)即使函数以指数级增长，其Laplace变换仍然存在；(2)即使函数不同，但其Lap

5、lace变换的结果可能相同。(2)Laplace逆变换如何做？是否惟一？(1)到底哪些函数存在Laplace变换呢？问题三、存在性定理则象函数在半平面上一定存在且解析。(1)在任何有限区间上分段连续；(2)具有有限的增长性，即存在常数c及，使得，设函数当时，满足：定理(其中，c称为函数的“增长”指数)。证明(略)P215定理9.1两点说明(1)像函数的存在域一般是一个右半平面,即只要复数s的实部足够大就可以了。只有在非常必要时才特别注明。因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域，即函数等价于函数(2)在Laplace变换中的函数一般均约定

6、在t<0时为零，比如四、几个常用函数的Laplace变换解(2)(2)[](1)[1]=[]含冲激函数的拉氏变换问题四、几个常用函数的Laplace变换解(3)(2)[](1)[1](3)[]=[](G函数简介)四、几个常用函数的Laplace变换解(5)(2)[](4)[](5)[](1)[1](3)[]=[](2)[](4)[](5)[](1)[1](3)[]=[]四、几个常用函数的Laplace变换(6)[]解(6)(2)[](4)[](5)[](1)[1](3)[]=[]四、几个常用函数的Laplace变换(6)[]特点变换的结果均为分

7、式函数。轻松一下……人物介绍——拉普拉斯附：法国数学家、天文学家(1749～1827)拉普拉斯Laplace，Pierre-Simon天体力学的主要奠基人，天体演化学的创立者之一。分析概率论的创始人，应用数学的先躯。因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和天体力学之父。人物介绍——拉普拉斯附：1749年3月23日，生于法国卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日。1827年3月5日，卒于巴黎。1795年任巴黎综合工科学校教授。1816年被选为法兰西学院院士，次年任该院院长。发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇。专著合计有4000多页。其中最有代表

8、性的专著有：曾任拿破仑的老师，并在拿破仑政府中担任过内政部长。《天体力学》、和《宇宙体系论》《概率分析理论》。(返回)G-函数(gamma函数)简介附