高考数学选修知识讲解_《坐标系与参数方程》全章复习与巩固.doc

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1、《坐标系与参数方程》全章复习与巩固编稿：孙永钊　　　　　审稿：王静伟　　　　【学习目标】1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4.了解参数方程，了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.【知识网络】【要点梳理】要点一：向量的有关概念1．极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向）

2、，这就构成了极坐标系。2．极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；当时表示极点；当时，点的位置这样确定：作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即，,均表示同一个点.3.极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），

3、平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.4.直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.（2）过垂直于极轴的直线：5.圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：.（2）若，，以为直径的圆：要点二：参数方程1.概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程

4、来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。要点三：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：（为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2．圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点

5、的半径所成的角。　（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3.椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4.双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。5.抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）

6、。参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。【典型例题】类型一：极坐标方程与直角坐标方程例1．在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，【思路点拨】画出极坐标系，结合图形容易确定。【解析】它们依次是或；；（）.示意图如下：【总结升华】应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。举一反三：【变式】已知点，则点　　（1）关于对称点的坐标是_______，　　（2）关于直线的对称点的坐标为______

7、__。【答案】(1)由图知：,，所以；　　(2)直线即，所以或（）例2.化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。(1)；　　　　(2)；(3)；　　　　(4).【思路点拨】依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。【解析】（1）方程变形为,∴或，即或，故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。(2)变形得,即，故原方程表示直线。(3)变形为,即，整理得，故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。（4）变形为,∴,即,故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。【总结升华】极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方

8、程中的用ｘ、ｙ表示。举一反三：【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.(1)；　(2),其中；(3)　　(4)【答案】：(1)∵，∴即,故原方程表示是圆.(2)∵,∴