现代控制理论基础 教学课件 作者 李先允 第3章 线性控制系统的动态分析.ppt

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1、3．1引言第3章线性控制系统的动态分析3．2线性定常系统状态方程的求解3．3线性时变连续系统状态方程的求解3．4线性离散时间系统状态方程的求解3．5MATLAB在线性控制系统动态分析中的应用3．1引言状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输出与内部状态关系的动态数学模型——状态方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务之一。本章重点:讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，并在此基础上导出状态方程

2、的求解公式。连续系统状态方程的离散化，即建立连续系统的离散系统状态方程。齐次状态方程：，控制输入为零。(1)若A为标量有：初始时刻t0=0,则3．2线性定常系统状态方程的求解(2)若A为方阵，绝对一致收敛级数称为矩阵指数矩阵级数解：求例3．2．1已知3．2．2状态转移矩阵的性质及其计算方法一、状态转移矩阵的基本定义对于线性定常连续系统，当初始时刻t0=0时，满足如下矩阵微分方程和初始条件：(3-1)解为线性定常连续系统的状态转移矩阵。则有：二、几个特殊矩阵指数(1)若为对角矩阵证:由定义知则有：约当矩阵若为（2）则有：具

3、有约当块的矩阵若为（3）其中：为约当块则有：(4)若为3.2.2.3状态转移矩阵的性质性质一性质二性质三性质四性质五3.2.2.4状态转移矩阵的计算方法(1)定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现(2)拉氏变换法：有：例3.2.2用Laplace变换法计算矩阵指数：解：则有：(3)标准型法：则有个互异的特征值设具有满足其中解:1)特征值例3.2.2已知矩阵试计算矩阵指数2)计算特征向量：3)构造变换阵P：则有：设具有个重特征值则有解:1)计算特征向量和广义特征向量。例3.2.3已知矩阵试计算矩阵指数得：2)计算矩阵指

4、数：(4)化有限项法根据：1)特征根两两互异：2)有个重特征值两端对求1至阶导数得：解方程组可求得例3.2.4已知系统试用化有限的方法求矩阵的矩阵指数解：矩阵的特征方程为：特征值为对于有对于有从而可联立求得：因为-1是重根，故需补充方程：由此可得：3．2．3线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统在输入信号u作用下的运动称为强迫运动，其可用式（3－52）所示的非齐次状态方程描述，即下面求解非齐次状态方程式（3－52），以研究控制作用下系统强迫运动的规律。（3－52）一、直接求解法非齐次状态方程可改写为两边左乘由矩阵指数

5、性质及导数运算法则得由矩阵指数性质及导数运算法则两边在t0到t闭区间进行积分，得即两边左乘，由矩阵指数性质可得若特殊情况下，如，对应初始状态为则线性定常非齐次状态方程的解为二、拉氏变换法事实上，对初始时刻的情况，也可应用拉普拉斯变（3－60）得式（3－61）两边取拉普拉斯反变换得对上述状态方程的求解式利用卷积分公式，则有换法求解非齐次状态方程。对式（3－53）两边取拉普拉斯变换，并移项整理得式（3－60）两边左乘（3－61）（3－62）结果与直接求解法完全相同。三、状态方程解的意义系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初

6、始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。3．3线性时变连续系统状态方程的求解严格说来，实际控制对象都是时变系统，其系统结构或参数随时间变化。如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化；电子器件的老化使其特性也发生变化；火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。但是，由于时变系统的数学模型较复杂，且不易于系统分析、优化和控制，因此只要实际工程允许，都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。但对控制目标要求较高的高精度控制系统，需作为时变系统处理。3

7、．3．1线性时变连续系统齐次状态方程的解线性时变系统的结构参数随时间而变化，其一般形式的状态方程为时变非齐次状态方程，即（3－63）、分别为n×n、n×r时变实值矩阵。若式中，输入控制u=0，式（3－63）则变为时变齐次状态方程，即（3－64）时变齐次状态方程式（3－64）的解为为保证该齐次状态方程解的存在性和唯一性,在系统的时间定义域[t0，tf]内，A(t)的各元素为时间t的分段连续函数。（3－65）3．3．2线性时变连续系统的状态转移矩阵一、状态转移矩阵的求解对于线性时变连续系统，状态转移矩阵是如下矩阵微分方程和初

8、始条件的解，它是一个n×n维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。为了求得状态转移矩阵的表达式，可在时间域内（3－67）对该矩阵微分方程积分，即有（3－67）如果将上式中积分号内的再按上式展开，则有然后按此法继续迭代下去，并将各展开式代入式（3－67），可得（3－69）（3－68）可得一个由无穷项之和组成的状态转移矩阵