资源描述：
《数值分析5 LU分解法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§3LU分解法——Gauss消去法的变形知识预备：1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积2矩阵的乘法3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆一、Gauss消去法的矩阵解释Gauss消去法实质上是将矩阵A分解为两个三角矩阵相乘。我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。第一轮消元：相当于对A（1）左乘矩阵L1，即其中第二轮消元：对应于一般地……………（1）其中8整个消元过程为………（2）从而其中L是单位下三角矩阵，即…（3）【注】消元过程等价于A分解成LU的过程回代过程是解上三角方程组的过程。二、矩阵的三角分解1、若将A分解成
2、LU，即A=LU，其中L为单位下三角矩阵,U为非奇异上三角矩阵,则称之为对A的Doolittle分解。当A的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而A存在唯一的Doolittle分解。证明：若有两种分解，A=L1U1，A=L2U2，则必有L1=L2，U1=U2。因为L1U1=L2U2，而且L1，L2都是单位下三角矩阵，U1,U2都是可逆上三角矩阵,所以有8因此即L1=L2，U1=U2、2、若L是非奇异下三角矩阵，U是单位上三角矩阵时，A存在唯一的三角分解，A=LU，称其为A的Crout分解（对应于用列变换实施消元）三、直接分解（LU分解）算法LU分解算法公式——按矩阵乘法
3、第一步：利用A中第一行、第一列元素确定U的第一行、L的第一列元素。由得u1j=a1j)li1=ai1/u11)第r步:利用A中第r行、第r列剩下的元素确定U的第r行、L的第r列元素（r=2，3，…，n）.由得U的第r行元素为8由得…………(4)直接分解的紧凑格式：u11u12u13……u1n1l21u22u23……u2n2l31l32ln1ln2unnn方程组的三角分解算法（LU分解）对于方程组Ax=b，设A=LU(Doolittle分解)。由于1、求解Ly=b：…………………（5）2、求解Ux=y：…（6）LU分解算法步1，输入A，b；步2，对j=1,2,…,n求8对i=
4、2,3,…,n求步3,对r=2,3,…,n做（3.1）-(3.2):（3.1）（3.2）步4，步5，步6，输出结束。例子与程序：【例】用LU分解求解方程组解：对系数矩阵A进行LU分解因此先解。8再解程序：LU_factorization%NotSelectColumnLU_factorizationclearalln=3;a=[223;477;-245];b=[3;1;-7];%n=3;a=[147;258;3611];b=[1;1;1];%LU_factorazationfori=2:na(i,1)=a(i,1)/a(1,1);endaforr=2:nforj=r:ns=
5、0.;fork=1:r-1s=s+a(r,k)*a(k,j);enda(r,j)=a(r,j)-s;endfori=r+1:ns=0.;fork=1:r-1s=s+a(i,k)*a(k,r);enda(i,r)=(a(i,r)-s)/a(r,r);endaend%ExtractLower/UpperTriangularPartl=tril(a);fori=1:nl(i,i)=1;endu=triu(a);8lu%LinearLowerTriangularEquationSolutiony=lb%LinearUpperTriangularEquationSolutionx=
6、uy四、列主元LU分解当用LU分解法解方程组时，从第r(r=1,2,…,n)步分解计算公式可知当很小时，可能引起舍入误差的累积、扩大。因此，可采用与列主元消去法类似方法，将直接三角分解法修改为列主元三角分解法（与列主元消去法在理论上是等价的），它通过交换A的行实现三角分解PA=LU，其中P为置换阵。设第r-1步分解计算己完成，则有第r步计算时为了避免用绝对值很小的数作除数，引进中间量：则有：8（1）选主元：确定（2）交换两行：交换A的第r行与第行元素（相当于先交换原始矩阵A第r行与第行元素后，再进行分解计算得到的结果，且）（3）进行分解计算附：列主元LU分解a=[223;
7、477;-245];b=[3;1;-7];[l,u]=lu(a)y=lbx=uy%x=inv(u)*inv(v)*b[l,u,p]=lu(a)y=l(p*b)x=uy8
