解答椭圆中最值问题策略.doc

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1、解答椭圆中最值问题策略椭圆是圆锥曲线这一章节中的重要内容，而与椭圆有关的最值问题则是解析几何中最值问题的一个组成部分.与椭圆有关的最值问题具有综合性强、涉及知识面广等特点，是学习中的一个难点.要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决.一、建立目标函数，利用函数性质例1　设P(x，y)是椭圆＋＝1上的一点，F1为椭圆的左焦点，求

2、PF1

3、的最大值和最小值.分析：由于点F的坐标为(－6，0)，因此只须设出点P的坐标(

4、x，y)，结合椭圆方程即可建立

5、PF1

6、关于横坐标x的目标函数，再结合函数的即可求解.解：椭圆的左焦点F1坐标为(－6，0)，根据两点的距离公式，得

7、PF1

8、＝＝＝＝

9、x＋

10、，由已知，得x∈[－8，8]，函数

11、x＋

12、在[－8，8]上为增函数，故

13、PF1

14、max＝

15、8＋

16、＝14，

17、PF1

18、min＝

19、－8＋

20、＝2.点拨：函数法是探求最值问题的常用方法，尤其是二次函数，值得注意的是函数自变量取值范围的确定不容忽视.同时通过本题的解答，可得结论：椭圆上的点到焦点的距离取得最大值和最小值的点就是椭圆的两个端点.二、利用定义转化，结合平面几何

21、性质例2　已知A(4，0)、B(2，2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求

22、MA

23、＋

24、MB

25、的最大与最小值.分析：由于A(4，0)是椭圆的焦点，因此可以利用椭圆的定义对

26、MA

27、＋

28、MB

29、转化，转化为求解椭圆上一动点到定直线上两定点的距离之差的最值问题.解析：如图所示，由题意，知点A(4，0)恰为椭圆右焦点，则A关于O的对称点A1(－4，0)(左焦点)，由椭圆的第一定义，得

30、MA

31、＋

32、MA1

33、＝2a，

34、MA

35、＝2a－

36、MA1

37、，∴

38、MA

39、＋

40、MB

41、＝(2a－

42、MA1

43、)＋

44、MB

45、=2a＋(

46、MB－

47、MA1

48、)，在△A1B

49、M中，

50、

51、MB

52、－

53、MA1

54、

55、≤

56、A1B

57、＝2，－2≤

58、MB

59、－

60、MA1

61、≤2，又2a＝10.故

62、MA

63、＋

64、MB

65、的最大值是10＋2，最小值为10－2.点评：(1)涉及椭圆的焦点问题，一般都可以利用定义引导思维，同时常起着转化的作用；(2)注重使用平面几何知识“三角形中的三边关系”，三点共线为特例，从而确定最值.三、巧妙设角，利用三角函数有界性例3　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)两个焦点为F1，F2，如果曲线C上存在一点Q，使F1Q⊥F2Q，求椭圆离心率的最小值。分析：根据条件可采用多种方法求解，但是若借用三角函数的有界性求解，

66、会有不错的效果.由于F1Q⊥F2Q，因此可设∠PF1F2＝α，然后表示出相应的焦半径

67、QF1

68、、

69、QF2

70、，结合定义即可建立离心率关于α的三角函数.解：设∠QF1F2＝α，则

71、QF1

72、＝

73、F1F2

74、cosα＝2ccosα，

75、QF2

76、＝

77、F1F2

78、sinα＝2csinα，由椭圆定义知

79、QF1

80、＋

81、QF2

82、＝2a，即2ccosα＋2csinα＝2a，故e＝＝＝≥(当α＝45°时取“＝”)，故椭圆离心率的最小值为.点评：本题建立离心率e关于α的目标函数的关键是利用三角函数处理Rt△QF1F2边角的关系.另外，利用三角函数的有界性求最值时

83、，一定要注意角的范围.四、利用椭圆的几何性质，建立变量不等式例4　若A、B为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使∠AQB＝120°，求此椭圆离心率的最小值.分析：建立a、b、c之间的不等式是解决离心率最值问题常规思路.此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中x、y的取值进行求解离心率的最值.解：不妨设A(a，0)，B(－a，0)，Q(x，y)，则kAQ＝，kBQ＝，利用到角公式及AQB＝120°，得＝tan120°(x＝±a)，即＝又点

84、A在椭圆上，故x2－a2＝，消去得y＝，又y≤b，即≤b，则4a2(a2－c2)≤3c4，从而转化为关于e的高次不等式3e4＋4e2－4≥0，解得≤e＜1.故椭圆离心率的最小值为.点评：对于此类最值问题关键是如何建立a、b、c之间的关系.常用椭圆上的点(x，y)表示成a、b、c，并利用椭圆中x，y的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解.五、利用均值不等式，建立不等式根据题设条件建立不等式，再根据均值不等式转化为不等式，建立a、c的不等式，求e的范围.例5设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1、F2，问当离心率e在什么范围取值时

85、，当椭圆上恒存在点P使∠F1PF2＝120°时，求离心率最小值.分析：利用余弦定理建立

86、F1F2

87、与

88、PF1

89、、

90、PF2

91、的等式，利用均值定理解：设椭圆的焦点为2c,由椭圆定义

92、PF1

93、＋

94、PF2

95、＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得建立a、c的