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1、数学分析提纲一、实数集与函数二、数列极限1.数列极限的概念2.收敛数列的性质（1）(唯一性)若数列收敛，则它只有一个极限．(2)(有界性)若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有(3)(保号性)若(或<0)，则对任何(或，存在正数，使得当时有(或)．(4)(保不等式性)设与均为收敛数列．若存在正数，使得当时，有，则(5)(迫敛性)设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且．3.数列极限存在的条件（1）单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．（2）柯西(Cauchy)收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的
2、，存在正整数N，使得当时有．三、函数极限1.函数极限的概念2.函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1)2)3)4)5)6)下面以第4)种类型的极限为代表叙述并证明这些性质.(1)(唯一性)若极限存在,则此极限是唯一的.(2)(局部有界性)若存在,则在的某空心领域内有界(3)(局部保号性)若(或),则对任何正数(或),存在使得对一切有(或).(4)定理3.5(保不等式性)设与都存在,且在某邻域内有,则(5)定理3.6(迫敛性)设且在某内有则(6)定理3.7(四则运算法则)若极限与都存在,则函数当时极限也存在,且1)2)又若,则当时极限存
3、在,且有3)3.函数极限存在的条件（1）归结原则：设在内有定义．存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等．（2）单调有界定理：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以这种类型为例叙述如下：设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．（3）柯西准则：设函数在内有定义.存在的充要条件是:任给,存在正数,使得对任何有.4.两个重要极限(1).(2)..5.无穷小量和无穷大量（1）无穷小量（2）无穷小量阶的比较（3）等价无穷小代换定理（4）无穷大量四、函数的连续性1.连续性的概念（1）函数在一点的连续性（2）间断
4、点及其分类（3）区间上的连续函数2.连续函数的性质(1)连续函数的局部性质（a）（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。(b)（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域时，(c)（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在连续，则（）在点连续。(d)（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续，，则复合函数在点连续。（2）闭区间上连续函数的基本性质(a)(最大最小值定理)若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有最大值与最小值。推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界。(b)(介值性定理)若函数在闭区间上连续，且，若为介
5、于之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得.推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则至少存在一点使得.即在内至少有一个实根.（3）反函数的连续性（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数在相应的定义域（）上递增（递减）且连续。（4）一致连续性(a)定义（一致连续性）设函数在区间I上有定义，若只要，，都有，则称在区间I上一致连续。(b)（一致连续定理）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。3.初等函数的连续性五、导数和微分1.导数的概念（1）导数的定义（2）导函数（3）导数的几何意义2.求导法则(1)导数的四
6、则运（2）反函数的导数（3）复合函数的导数3.参变量函数的导数4.高阶导数5.微分(1)微分的概念（2）微分的运算法则（3）高阶微分（4）微分在近似运算中的作用六、微分中值定理及应用1.拉格朗日中值定理和函数的单调性（1）罗尔定理与拉格朗日定理（2）单调函数2.柯西中值定理和不定式极限（1）柯西中值定理（2）不定式极限3.泰勒公式4.极值和最值（1）极值判别（2）最大值与最小值5.凸性和拐点七、实数的完备性八、不定积分1.不定积分的概念2.积分法九、定积分1.定积分的概念2.牛顿—莱布尼茨公式3.可积条件（1）可积的必要条件定理9.2若函数f在[a,b]
7、上可积,则f在[a,b]上必定有界（2）可积的充要条件定理9.3（可积准则）函数在可积（3）可积函数类定理9.4若f为[a,b]上的连续函数,则f在[a,b]上可积.定理9.5若f是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在[a,b]上可积。定理9.6若f是[a,b]上的单调函数，则f在[a,b]上可积。4.定积分的性质（1）定积分的基本性质（2）积分中值定理定理1（积分第一中值定理）若函数在闭区间连续，则至少存在一点，使得.定理2（广义积分第一中值定理）若函数与在闭区间连续，且在不改变符号，则至少存在一点，使得.定理9．11(积分第二中值定理)
8、设函数在上可积.(ⅰ)若函数在上减,且,则存在,使(ⅱ)若函数在上增,且,则存在
