弹性力学用差分法和变分法解平面问题.ppt

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1、用差分法和变分法解平面问题第五章合肥工业大学本科生教学《弹性力学》主讲教师：袁海平(副教授、博士后)一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程四、位移变分法五、位移变分法例题第五章　用差分法和变分法解平面问题内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。对于工程实际问

2、题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有差分法、变分法和有限单元法。差分公式的推导一弹性力学3用差分法和变分法解平面问题fxo差分法是微分方程的一种数值解法，它不是去求解函数f(x)，而是求函数在一些结点上的值　　。将导数用有限差商来代替将微分用有限差分来代替将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问题化为求解差分方程问题。差分公式的推导一弹性力学4用差分法和变分法解平面问题在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形

3、网格。设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数，该函数在平行于x轴的一根网线上，如在3-０-１上，它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点０处，函数f可展为泰勒级数如下：差分公式的推导一(a)弹性力学5用差分法和变分法解平面问题只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：在结点３，x=x0-h；在结点1，x=x0+h。代入(b)得：联立（c）、（d），解得差分公式：差分公式的推导一(b)(c)(d)弹性力学6用差分法和变分法解

4、平面问题同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：以上（１）—（４）是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：差分公式的推导一弹性力学7用差分法和变分法解平面问题差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法

5、应用前者时才不得不应用后者。差分公式的推导一弹性力学8用差分法和变分法解平面问题一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程四、位移变分法五、位移变分法例题第五章　用差分法和变分法解平面问题内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、外力势能），又称为能量法。泛函－－是以函数为自变量的一类函数。变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。弹性体的形变势能和外力势能二弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另

6、一种独立解法，分为：位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条件导出变分方程。应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。弹性力学10用差分法和变分法解平面问题（2）因应力和应变均从0增长到，故单位体积上，应力所做的功是非线性关系－－线性关系－－（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看成是作用于微小单元上的“外力”。１、应力的功和形变势能（内力势能）弹性体的形变势能和外力势能二弹性力学11用差分法和变分法解平面问题线性的应力与应变关系非线性的应力与应

7、变关系弹性体的形变势能和外力势能二１、应力的功和形变势能（内力势能）弹性力学12用差分法和变分法解平面问题（3）对于平面应力问题或平面应变问题单位体积上应力所做的功都是(c)弹性体的形变势能和外力势能二１、应力的功和形变势能（内力势能）弹性力学13用差分法和变分法解平面问题弹性体的形变势能和外力势能二１、应力的功和形变势能（内力势能）（4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能，存贮于物体内部。--单位体积的形变势能（形变势能密度）。（5）

8、整个弹性体的形变势能(d)弹性力学14用差分法和变分法解平面问题（6）将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度，可用形变表示为对于平面应变问题，将再将几何方程代入，可用位移表示为整个弹性体的形变势能为弹性体的形变势能和外力势能二１、应力的功和形变势能（内力势能）(5-16)弹性力学15用差分法和变分法解平面问题（1）U是应变或位移的二次泛函，故不能应用叠加原理。（2）应变或位移发生时，U总是正的，即（3）U的大小与受力次序无关。（4）对应变的导数，等于对应的应力：(5-15)弹性