必修四第三章三角恒等变换复习.ppt

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1、简单的三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝；(2)cos2α＝＝＝；(3)tan2α＝2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α知识梳理[思考探究]你能用tanα表示sin2α和cos2α吗？提示：sin2α＝2sinαcosα＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝考点

2、一三角函数式求值1.解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(1)设cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos(α＋β).(2)已知sin(＋α)·sin(－α)＝，α∈(，π)，求sin4α.[思路点拨]例2[课堂笔记](1)∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos(α－)＝－，得sin(α－)＝.由sin(

3、－β)＝，得cos(－β)＝.∴cos()＝cos[(α－)－(－β)]＝.∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝.(2)法一：∵sin(＋α)·sin(－α)＝sin(＋α)cos(＋α)＝，∴sin(＋2α)＝，即cos2α＝.∵α∈(，π)，则2α∈(π，2π)，∴sin2α＝于是sin4α＝2sin2αcos2α＝.法二：由条件得(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝，即(cos2α－sin2α)＝.∴cos2α＝.由2α∈(π，2π)得sin2α＝－，∴sin4α＝－.1.通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，

4、选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－，)，选正弦较好.2.解给值求角问题的一般步骤为：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.已知0＜α＜＜β＜π，tan，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值.[思路点拨]例3[课堂笔记](1)tanα＝所以又因为sin2α＋cos2α＝1,0＜α＜，解得sinα＝.(2)因为0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π.因为cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.所以sin

5、β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝因为β∈(,π)，所以β＝.保持例题条件不变，求cos(α－β).解：由例题可知sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向.例5.若，设，（1）写出函数f(x)的解析式，并指出它的最小正周期；（2）若，f(x)的最小值为2，求m的值。例5.若，设，（1）写出

6、函数f(x)的解析式，并指出它的最小正周期；（2）若，f(x)的最小值为2，求m的值。(2009·广东高考)(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，).(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0＜φ＜，求cosφ的值.[考题印证]【解】(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝┄(4分)∵θ∈(0，)，∴cosθ＝⇒sinθ＝.┄┄┄┄(6分)(2

7、)由5cos(θ－φ)＝3cosφ有，5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝3cosφ┄┄┄┄┄┄┄(8分)⇒cosφ＋2sinφ＝3cosφ，∴cosφ＝sinφ.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)∵0＜φ＜，∴cosφ＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)[自主体验]已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，

8、a－b

9、＝(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sinβ＝，求sinα的值.解：(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝