数学北师大版九年级上册正方形的性质与判定.ppt

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1、正方形的性质与判定平行四边形矩形菱形有一个角是直角互相垂直平分且相等考点梳理课前预习1.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（　　）A．8B．4C．8D．162.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）A．45°B．55°C．60°D．75°解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AD=AE∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°∴∠ABE=（18

2、0°-150°）÷2=15°又∵∠BAC=45°∴∠BFC=45°+15°=60°答案：C．3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．解析：根据正方形的性质可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出BE=CF，再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．4.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是．（只填一个条件即可，答案不唯一）解

3、析：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．即∠BAD=90°或AC=BD．答案：∠BAD=90°或AC=BD．正方形的性质1.如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（　　）A．B．2C．D．考点突破2.如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH

4、；（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．3.如图，正方形ABCD以AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BEC的度数为（　　）A．30°B．15°C．20°D．45°解析：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠CED=30°．答案：

5、A．4.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（　　）个．A．2B．3C．4D．55.如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中间G处，求：（1）线段BE的长；（2）四边形BCFE的面积．解析：（1）由折叠的性质可得CF=HF，BE=GE，设BE=GE=x，则AE=4-x，在Rt△AEG中利

6、用勾股定理求出x的值；（2）四边形BCFE是梯形，要求其面积需要得出CF的长，可通过求出FH的长度，进行求解．正方形的判定1.已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE．求证：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四边形EFPQ是正方形．解析：（1）由四边形ABCD是正方形，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，又由AF=BP=CQ=DE，即可得DF=CE=BQ=AP，然后利用SAS即可证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可

7、证得EF=FP=PQ=QE；（2）由EF=FP=PQ=QE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BPQ，易得∠FPQ=90°，即可证得四边形EFPQ是正方形．2.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．