巧用线性规划思想解题

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1、巧用线性规划思想解题　　当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力．一、函数问题转化为线性规划问题例1如图1，满足的可行域是图中阴影部分（包括边界）．若函数在点取得最小值，求的取值范围．解：由图1易得满足的约束条件为将目标函数改为斜截式，表示直线在轴上的截距，欲求的最小值，可转化为求的最大值．当时，显然直线在点处，取得最大值；当时，依题意，，易得．综上所述，时，函数在点取得最小值．二、方程问题转化为线性规划问题例2已知，若方程与方程都有实数根，求

2、的最小值．解：由题意，得即画出其可行域为如图2所示阴影部分．令，故要求的最小值，即求过可行域内的点，使得在轴上截距最小的点的坐标．由图知，点即为所求．由解得．的最小值为6．6一、不等式问题转化为线性规划问题例1已知，且，，求的取值范围．解：如图3，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线，把直线向右下方平移过，即直线与的交点时，；再把直线向右下方平移过即直线与的交点时，，．说明：本题还可运用整体代换法，先用与的一次组合表示，找出它们之间的线性关系，然后利用不等式的性质加以解决．二、多元问题转化为线性规划问题例2已知的三边

3、长满足，，求的取值范围．解：由题意，应用令，上述不等式可化为求出的范围即可．作出可行域如图4，易得，6于是的范围为．五．几何问题转化为线性（非线性）规划问题（3，6，8）简单的线性规划和实际应用一、选择题1.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是()A.2B.5C.6D.8解析：由题可知可行域如下:显然,B(3,3)使(x+y)取得最大值6.答案：C2.在平面直角坐标系xOy中,满足不等式组的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的()解析：若00时,要使

4、y

5、≥

6、x

7、,则y≥x;当y<0时,要使

8、y

9、≥

10、x

11、

12、,则y≤-x;若-10时,要使

13、y

14、≥

15、x

16、,则y≥-x;当y<0时,要使

17、y

18、≥

19、x

20、,则y≤x.答案：C63.若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为()A.B.1C.D.2解析：如图所示,直线x+y=a扫过的区域为四边形AOBC.∴S四边形AOBC=S△AOD-S△CBD=.答案：C4.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,则使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是()A.［1,3］B.［2,］C.［2,9］D.［,9

21、］解析：平面区域M如图所示.求得A(2,10),C(3,8),B(1,9).由图可知,欲满足条件必有a>1且图象在过B、C两点的图象之间.当图象过B时,a1=9,∴a=9.当图象过C时,a3=8,∴a=2.故a的取值范围为［2,9］.故选C.答案：C6二、填空题5.若变量x,y满足则z=3x+2y的最大值是___________.解析：由不等式组画出的可行域如图,结合图形,由于是zmax=3×10+2×20=70.答案：706.已知M={(x,y)

22、

23、x

24、+

25、y

26、≤1},则M的面积为__________.解析：如图,作出M表示

27、的平面区域,其面积为2.答案：27.若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是__________.解析：ax+by≤1恒成立,当x=0时,by≤1恒成立,可得y≤(b≠0)恒成立,所以0≤b≤1;同理0≤a≤1.所以点P(a,b)确定的平面区域是一个正方形,面积为1.答案：1三、解答题68.已知求z=x2+y2的最值,并求出z取得最值时x、y的值.解：z=x2+y2不是线性函数,求它的最值可利用几何意义求解.x2+y2表示区域上的点到原点的距离的平方,显然,它的最值

28、应在区域的边界上取得.作出满足以上不等式组的可行区域(如图),易知在这个区域中,点C到原点O的距离最远,即z的最大值是22+32=13,这时x=2,y=3.又过O点作直线AB:x+=1的垂线,垂足,在点D处z有最小值

29、OD

30、2=,此时x=,y=.9.若函数的定义域是R,求3a+b的取值范围.解：∵的定义域是R,∴即可行域为下图中阴影部分.∵3a+b=0的斜率为-3,∴最优解为A(-2,0),此时(3a+b)min=-6.∴3a+b的取值范围为［-6,+∞).6