2011中考冲刺数学专题6_——综合型问题

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1、2011中考冲刺数学专题6——综合型问题【备考点睛】综合型问题是在相对新颖的数学情境中综合运用数学思想、方法、知识以解决问题，涉及的主要知识点有代数中的方程、函数、不等式，几何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四边形和圆；涉及的主要思想方法有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等；要求学生具有融会贯通迁移整合知识的能力、分析转化与归纳探索的能力、在新情境下解决新问题的创新能力．学生做好以下两项工作，解决综合型问题的水平将有较大提高：①全面掌握初中数学的基础知识、方法、技能，熟练掌

2、握重点、热点知识及重要的数学思想、方法，注重归纳整理形成整体，防止知识出现断链。②适度进行综合性训练并善于总结解题体会，对知识形成发散、迁移及应用能力，提高解题技能，体会数学思想与方法的运用，形成解题策略，如运用转化思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题，借助几何直观去分析、推理等．【经典例题】类型一、以几何图形为背景的综合题例题1（2010四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点（点P不与点B、C重合），过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点，再把△PQC沿

3、着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x,△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。（1）求∠CPQ的度数。（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。解答：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC又AB=6,AD=2,∠C=90°∴CD=6,BC=2∴tan∠CBD＝=∴∠CBD=60°∵PQ∥BD∴∠CPQ=∠CBD=60°（2）如题图（1）由轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ∴∠RPQ=∠C

4、PQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60°∴∠RPB=60°,∴RP=2BP∵CP=x∴RP=x,PB=2-x.∴在△RPB中，有2（2-x）=x∴x=（3）当R点在矩形ABCD的外部时（如题图），﹤x﹤2在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2-x）∴RP=CP=x∴ER=RF-PF=3x-4在Rt△ERF中∵∠EFR=∠PFB=30°∴ER=RF·tan30°=x-4∴Ｓ△ERF=ER×FR=(x-4)(3x-4)=-12x+8又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=x×x=∵y=Ｓ△PQR-Ｓ△

5、ERF∴当﹤x﹤2时，函数的解析式为y=-（-12x+8）=-+12x-8（﹤x﹤2）∵y=-+12x-8=-(x-2)+4∴当﹤x﹤2时，y随x的增大而增大∴函数值y的取值范围是﹤y﹤4例题2（2010山东东营）如图，在锐角三角形ABC中，，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与，重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG.（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；BADEFGCMN（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分

6、的面积为，试求关于的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.解答：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,∴，BADEFGC而AN=AM－MN=AM－DE，∴.解之得.∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.（2）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积

7、，∵DE=x，∴，此时x的范围是≤4.8②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，MBADEFGCNPQ△ABC的高AM交DE于N，∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,分即，而AN=AM－MN=AM－EP,∴，解得.所以,即.由题意，x>4.8，x<12,所以.因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为(0

8、DEFG重叠部分的面积的最大值为.因为24>23.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.例题3（2010浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　　°，猜想∠QFC=°；（2）如图1，当点P为射