运筹学01-线性规划引论.ppt

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1、第一章线性规划引论1.1线性规划问题及其数学模型1.2线性规划问题的图解法1.1线性规划问题及其数学模型(1)线性规划问题例1、生产组织与计划问题A,B各生产多少,可获最大利润?可用资源煤劳动力仓库AB123202单位利润4050306024解:设产品A,B产量分别为变量x1，x2根据题意，两种产品的生产要受到可用资源的限制，具体讲：对于煤，两种产品生产消耗量不能超过30，即：x1+2x230对于劳动力，两种产品生产的占用量不能超过60，即：3x1+2x260对于仓库，两种产品生产的占用量不能超过24，即：2x224另外，产品数不

2、能为负，即：x1，x20同时，我们有一个追求的目标---最大利润，即：MaxZ=40x1+50x2综合上述讨论，在生产资源的消耗以及利润与产品产量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放在一起，可以建立如下的数学模型：MaxZ=40x1+50x2x1+2x2303x1+2x2602x224x1，x20s.t目标函数约束条件例2合理配料问题求：最低成本的原料混合方案原料ABＣ每单位成本14102261253171642538每单位添加剂中维生12148素最低含量解：设每单位添加剂中原料i的用量为xj(j=1,2,3,4)根据题

3、意：混合配料后，每单位添加剂中A的含量不得低于12，即4x1+6x2+x3+2x412每单位添加剂中B的含量不得低于14，即x1+x2+7x3+5x414每单位添加剂中C的含量不得低于8，即2x2+x3+3x48另外，原料使用量不能为负，即：x1，x2，x3，x4，0同时，我们有一个追求的目标---成本最低，即：MinZ=2x1+5x2+6x3+8x4综合上述讨论，在添加剂中各维生素的含量以及成本与原料消耗量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放在一起，可以建立如下的数学模型：目标函数约束条件MinZ=2x1+5x2+6x3

4、+8x44x1+6x2+x3+2x412x1+x2+7x3+5x4142x2+x3+3x48xj0(j=1,…,4)s.t2.9m钢筋架子100个，每个需用2.1m各1，原料长7.4m1.5m求：如何下料，使得残余料头最少。解：首先列出各种可能的下料方案；计算出每个方案可得到的不同长度钢筋的数量及残余料头长度；确定决策变量；根据下料目标确定目标函数；根据不同长度钢筋的需要量确定约束方程。例3、合理下料问题设按第i种方案下料的原材料为xi根组合方案123456782.9m211100002.1m021032101.5m101302

5、34合计7.3m7.1m6.5m7.4m6.3m7.2m6.6m6.0m料长7.4m7.4m7.4m7.4m7.4m7.4m7.4m7.4m料头0.1m0.3m0.9m0.0m1.1m0.2m0.8m1.4m例4、运输问题工厂123库存仓121350222430库334210需求401535运输单价求：运输费用最小的运输方案。解：设xij为i仓库运到j工厂的原棉数量其中：i＝1，2，3j＝1，2，3MinZ=2x11+x12+3x13+2x21+2x22+4x23+3x31+4x32+2x33x11+x12+x1350x21+x22+

6、x2330x31+x32+x3310x11+x21+x31=40x12+x22+x32=15x13+x23+x33=35xij0s.t(2)线性规划问题的特点决策变量：(x1…xn)T代表某一方案，决策者要考虑和控制的因素非负；目标函数：Z=ƒ(x1…xn)为线性函数，求Z极大或极小;约束条件：可用线性等式或不等式表示.具备以上三个要素的问题就称为线性规划问题。目标函数约束条件(3)线性规划模型一般形式隐含的假设比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成正比可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量连续性：每

7、个决策变量取连续值确定性：线性规划中的参数aij,bi,cj为确定值1.2线性规划问题的图解法定义1：满足约束(2)的X=(X1…Xn)T称为线性规划问题的可行解，全部可行解的集合称为可行域。定义2：满足(1)的可行解称为线性规划问题的最优解。例1MaxZ=40X1+50X2X1+2X2303X1+2X2602X224X1,X20s.t解：(1)、确定可行域X1+2X2303X1+2X2602X224X10X202030100102030X2DABC2X224X1+2X2303X1+2X260X10X20可行

8、域(2)、求最优解最优解：X*=(15,7.5)Zmax=975Z=40X1+50X20=40X1+50X2(0,0)，(10,-8)C点：X1+2X2=303X1+2X2=600203010102030X