资源描述：
《投入产出模型doc.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、投入产出数学模型1在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系的数学模型，该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。2一、投入产出数学模型的概念投入～从事一项经济活动的消耗；产出～从事经济活动的结果；投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运用线性代数工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型
2、。3表7.1：投入产出表流量产出消耗部门最终需求总12⋯n消费累计出口合计产出投入生1x11x12⋯x1ny1x1产2x21x22⋯x2ny2x2部⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮xxx门nn1n2nnynxn新工资vv⋯v12n创mm⋯m纯收入12n价zz⋯z合计12n值总投入x1x2⋯xn4投入产出表描述了各经济部门在某个时期的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用量，x1j(j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等）为y
3、j(j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这个时期的总产出水平。5投入产出的基本平衡关系从左到右：中间需求＋最终需求＝总产出(7-9)从上到下：中间消耗＋净产值＝总投入(7-10)由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：⎧x11+x12+⋯+x1n+y1=x1⎪⎪x21+x22+⋯+x2n+y2=x2⎨(7-11)⋯⋯⋯⋯⎪⎪⎩xn1+xn2+⋯+xnn+yn=xnn∑x+y=x(i=1,2,⋯,n)(7-12)ijii6j=1需求平衡方程组：nxi−∑xij=yi(i=1,2,⋯,n)(7-13)j=1投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：⎧x11
4、+x21+⋯+xn1+z1=x1⎪⎪x12+x22+⋯+xn2+z2=x2(7-14)⎨⋯⋯⋯⋯⎪⎪⎩x1n+x2n+⋯+xnn+zn=xnn∑x+z=x(j=1,2,⋯,n)(7-15)ijjj7i=1由(7-11)和(7-14)，可得nn∑yi=∑zj(7-16)i=1j=1这表明就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净产值的总和相等。8二、直接消耗系数定义7.2.1第j部门生产单位价值所消耗第i部门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗系数，记作aij(i,j=1,2,⋯,n)。xij由定义得aij=(i,j=
5、1,2,⋯,n)(7-17)xj把投入产出表中的各个中间需求xij换成相应的aij后得到的数表称为直接消耗系数表，并称n阶矩阵A=(a)为直接消耗系数矩阵。ij9例例11已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。表7.2产出中间消耗最终需求总产出投入123中间11002530400投入28050302503402560300净产值总投入40025030010xija=解由直接消耗系数的定义ij，得直接xj消耗系数矩阵⎡0.250.100.10⎤⎢⎥A=0.200.200.10⎢⎥⎢⎣0.100.100.20⎥⎦直接消耗系数a(i,
6、j=1,2,⋯,n)具有下面重ij要性质：性质7.2.10≤aij≤1(i,j=1,2,⋯,n)n性质7.2.2∑a≤1(j=1,2,⋯,n)11iji=1由直接消耗系数的定义xij=aijxj，代入(7-17)，得⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn+y1=x1⎪⎪a21x1+a22x2+⋯+a2nxn+y2=x2⎨(7-18)⋯⋯⋯⋯⎪⎪⎩an1x1+an2x2+⋯+annxn+yn=xn()′()′令X=xx⋯x,Y=yy⋯y，12n12n(7-18)式可表示为AX+Y=X，或(E−A)X=Y(7-19)称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。12类似地把x=ax代
7、入平衡方程(7-14)得到ijijj⎧a11x1+a21x2+⋯+an1xn+z1=x1⎪⎪a12x1+a22x2+⋯+an2xn+z2=x2⎨(7-20)⋯⋯⋯⋯⎪⎪⎩a1nx1+a2nx2+⋯+annxn+zn=xn写成矩阵形式为X=DX+Z或(E−D)X=Z(7-21)nnn⎛⎞D=diag⎜∑ai1∑ai2⋯∑ain⎟,其中⎝i=1i=1i=1⎠()′Z=z1z2⋯zn13定理7.2.1列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。()′如果各部门的最终需求Y=yy⋯y12n已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一()′解X=x1x2⋯xn。例例2设某工厂有三个
8、车间，在某
