三垂线定理应用.ppt

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1、三垂线定理及逆定理我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？2．直线和平面垂直的判定定理．APoα斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段。如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线自一点P向平面引垂线，垂足A叫做点P在平面内的正射影（简称射影）如果aα,a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？aAPoαPO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.PO平面PAOa⊥PO③三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和

2、这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PA⊥αaα①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO如果aα,a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？PaAoα上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理AO平面PAOa⊥AO③三垂线逆定理：在平面内的一条直

3、线，如果和这个平面的一条斜线的垂直，那么它也和这条斜线射影垂直。PA⊥αaα①PA⊥aPO⊥a②a⊥平面PAOPaAoαPAOaα三垂线定理包含几种垂直关系②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直二、定理内容阐述：1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线。顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。2、“三垂线”的含义：（1）垂线与平面垂直（2）射影与平面内的直线垂直（3）斜线与平面内的直线垂直PCBA例1已知P

4、是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点PA⊥平面ABC∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BCM1.直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA⊥正方

5、形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形O为BD的中点∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD同理，AC⊥BDAO是PO在ABCD上的射影PC⊥BDPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:∵PB=PCM是BC的中点PM⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A

6、1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，A1C⊥B1D1由三垂线定理知A1C⊥BC1