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1、3.厄米算符所有的本征函数组成的函数系构成完备系统若厄米算符Aˆ的正交归一本征函数系为GGG{ϕϕϕnn()rrr}≡{1(),.....,().....}(23)(23)则任何满足同样边界条件且在同样区间定义G的波函数ψ()r都可由{}ϕn展开为GGψ()rC=∑nnϕ()r(24)(24)nG且展开式唯一，其中Cn与r无关，称本征函G数系{ϕn()r}构成完备函数系，或本征函数系具有完备性。展开系数Cn可由下述方法求出∗G**GG∫∫ϕψmmdr==ϕ∑Cnϕnndr∑C∫ϕϕmndrnn==∑CCnmnδm(25)(25)n*GCdnn=∫ϕψϕr=(26)(26)G对连续谱本
2、征函数完备系为{ϕ()r},有λGGψ()rCr=ϕ()dλ(27)(27)∫λλ*GCdλλ=∫ϕψϕr=<λ,ψ>(28)(28)G对完备系{ϕ()}有nrGψ()rC=∑nnϕϕ=<>∑n,ψϕnnn*'GGGG''=∑[()()]()∫ϕψnnrrdrrϕn(29)(29)G''GG*'G=∫drψϕ()[r∑nn()()]rϕrnGGGG'''=−∫drψδ()(rrr)故有G*'GGG'∑ϕϕnn()()rrrr=−δ()((3030))n这一结果称本征函数系的封闭性关系。Aˆ利用厄米算符的正交归一完备系，容易给出在任一态函数ψ=∑Cnnϕ下，力学量A的平均值可表示为nllAAA,
3、**ˆdrCGlA<>=<ψψ>=∫∫ψψ=∑ϕmmmGG**×=∑∑Cdnnϕϕr∑CCfmnn∫mnϕdrnmn∗2==∑∑CCfmnnmδn∑Cfnn(31)(31)mnn2<>lAC=fdλ(连续谱)(32)32)∫λλ注意分立谱和连续谱的对应为'nd↔↔λ;;∑∫λδmn↔δλλ(−);(33)(33)n而归一化条件可表示为**<>ψ,1ψϕ==∑CCmm∑nnϕmn*2==∑∑∑CCmnmδnCn(34)(34)mnn2<>ψ,1ψ==Cdλ(35)(35)∫λ若Aˆ的本征函数既有分立谱又有连续谱时，完备系为{,}ϕϕ，则有nλψ=+∑CCnnϕϕ∫λλdλ(36)(36)n22<
4、>Af=∑nnCf+∫λλCdλ(37)(37)n22∑CCn+∫λdλ=1(38)(38)n而封闭性关系此时可表为GG*'*'GGGG'∑ϕϕnn()()rr+∫ϕϕλδλλ()()rrdrr=−()n因此，量子力学中的力学量以线性厄米算符来表示，力学量取确定值的态就是力学量算符的本征态，力学量的数值就是算符的本征值，力学量算符的本征函数构成正交归一完备系。在任意状态ψ下，力学量一般不取确定的值，而是一系列可能值，用力学量本征函数2完备系将ψ展开，其展开系数的模方C则n给出力学量在该状态下取fn数值的几率，即力学量测量的数值必是其算符的本征值之一，而测得该值的几率振幅为C。这就是量n子力学中
5、有关力学量算符表示的基本原理，由理论与实验结果的一致性而得以证实。4.4共同本征函数1.不确定度关系的严格证明：当体系处于力学量A的本征态时,若对它测量A,则可得到一个确定的值,即相应的本征值,而不会出现涨落。若在A的这个本征态下测量另一个力学量B,是否也能得到一个确定的值?不一定。例如,前面有关章节中,我们曾分析过,考虑到波动粒子两重性,粒子子的位置和动量不能同时完全确定,而它们的不确定度Δx与Δp必须满足xΔxpΔ≥=(1)(1)x下面普遍地分析此问题。设有两个任意的力学量A和B。考虑下列积分不等式2IA()ξξ=∫ˆψψτ+≥iBˆd0(2)(2)式中为体系的任意一个波函数ψ,ξ为任意A
6、ˆBˆ实参数,与均为厄米算符.上述不等式可化为IA()(ξ=+ξψliBlψξψ,lA+iBlψ)=+−+ξ2(,)(,)(,)(,)lAψψξψψξψψlAiABiBABBlllllψψl222(,lAiA)(,[,])(,lBlBl)=+ξψψξψψψψ+(3)(3)+引进厄米算符CAl==1[,]ˆBCˆl,则i22I()2lACBllξξ=−ξ+222lAB()CCl2()ll0=−ξ+−≥2224lAlA(4)(4)2l注意l,lA均为实数,不妨令ξ=C,则得C22lA22Bl−Cl≥0(5)(5)24lA即2212lA⋅≥BCll(6)(6)4或表示成l22l11lAB⋅≥C=[,
7、]ABˆˆ(7)(7)22上面不等式对于任意两个厄米算符Aˆ,Bˆ均成立.令Δ=−Δ=−lAAABBBll,lll(8)(8)显然，ΔlA,ΔBl也是厄米算符,所以将llAA→Δ,BBll→Δ,上述不等式仍然成立.再考虑到llll[,][,]ΔΔ=ABAB(9)(9)就可得出()()Δ⋅lA22Δ≥BAl1[,]ˆBˆ(10)(10)2或者简记为Δ⋅Δ≥ABA1[,]ˆBˆ(11)(11)2此即任
