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1、第十三讲:数列与极限1第十三讲:自主招生数学试题中的数列与极限杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：13965261699）数列是中学数学的主干内容,在高考、自主招生和数学竞赛中均占有重要位置.数列是决胜高考的至高点,是自主招生和数学竞赛的必争之地.高考、自主招生和数学联赛一试中的数列问题的难度、所涉及的知识和方法,大体相当.Ⅰ.知识拓展1.数列概念:⑴阶差数列:对于一个给定的数列{an},我们把数列{xn}:xn=an+1-an叫做数列{an}的一阶差数列,数列{yn}:yn=xn+1-xn叫做数列{an}的二阶差数列,依次类推可得数列{an}的k阶差
2、数列.如果数列{an}的k阶差数列是一非零常数,则称数列{an}为k阶等差数列;k阶等差数列具有如下性质:①数列{an}是k阶等差数列的充要条件是数列{an}的通项an是n的k次多项式;②数列{an}是k阶等差数列的充要条件是数列{an}的前项和Sn是n的k+1次多项式(常数项为零);⑵周期数列:对于数列{an},如果存在一个常数T(T∈N+),使得对任意的正整数n,恒有an+T=an,则称数列{an}为以T为周期的周期数列;一个周期数列中所有正周期的最小值称为最小正周期.周期数列具有如下性质:①周期数列必有最小正周期(周期函数不一定有最小正周期);②如果数列{a
3、n}的最小正周期为T,且n=kT+r,则数列{an}的前n项和Sn=kST+Sr.2.数列极限:⑴基本极限:①=0(α>0,α为常数);②qn=0(0<
4、q
5、<1,q为常数);③若数列{an}是以q为公比的等比数列,且0<
6、q
7、<1,则Sn=;④(1+)n=e.⑵极限运算:若an=A,bn=B,则:①(kan)=kan=kA;②(anbn)=anbn=AB;③(anbn)=anbn=AB;④==.3.递推数列:⑴线性递推:数列{an}:a1=b1,a2=b2,…,ak=bk,an+k=λ1an+λ2an+1+…+λkan+k-1,其特征方程:xk=λ1+λ2x+…
8、+λkxk-1;①若特征方程有k个不同根x1,x2,…,xk,则其通项an=c1x1n+c2x2n+…+ckxkn,其中c1,c2,…,ck由初始条件a1=b1,a2=b2,…,ak=bk确定;②若特征方程有k1个重根x1,k2个重根x2,…,ks个重根xs,则其通项an=(c11+c12n+c13n2+…+)x1n+(c21+c22n+c23n2+…+)x2n+…+(cs1+cs2n+cs3n2+…+)xsn,其中cij由初始条件a1=b1,a2=b2,…,ak=bk确定.⑵分式递推:①数列{an}:a1=a,an+1=,其特征方程:x=;(i)若特征方程有二个
9、不同根x1,x2,则{}是等比数列;(ii)若特征方程有等根x0,则{}是等差数列;②数列{an}:a1=a,an+1=,可利用其特征方程:x=求通项,如当C=2A时,若特征方程有二个不同根x1,x2,则=()2.Ⅱ.归类分析2第十三讲:数列与极限1.等差数列:[例1]:(2004年上海交通大学保送生考试试题)已知数列{bn}是公差为6的等差数列,bn+1=an+1-an(n∈N+).(Ⅰ)用a1、b1、n表示数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若a1=-b1=a,a∈[27,33],求an的最小值及取最小值时n的值.[解析]:(Ⅰ)因bn=b1+6(n-1)an+1-
10、an=bn+1=6n+b1an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+3(n-1)n+b1(n-1);(Ⅱ)由a1=-b1=aan=3n2-(3+a)n+2a,其对称轴n=∈[5,6];①当a∈[27,30]时,an的最小值=a5=60-3a;②当a∈(30,33]时,an的最小值=a6=90-4a.[练习1]:1.①(2005年上海交通大学保送生考试试题)已知等差数列{an}中,a3+a7+a11+a19=44,a5+a9+a16=.②(2007年武汉大学保送生考试试题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2008=S2008
11、=2008,则首项a1=()(A)2008(B)-2008(C)2006(D)-2006③(2012年全国高中数学联赛天津预赛试题)数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则a3+a17等于()(A)36(B)35(C)34(D)33④(2012年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知等差数列{an}前15项的和S15=30,则a1+a8+a15=.⑤(2012年全国高中数学联赛山东初赛试题)等差数列{an}中,a20=,a201=,a2012=,则1992ac-1811bc-181ab的值为.⑥(2012年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)数列{an}满足:a1=1,
12、a2=,并
