勾股定理逆定理及综合应用.doc

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1、勾股定理逆定理及综合应用教学目标：　　掌握勾股定理逆定理，并能结合勾股定理进行综合应用.教学内容解析：　　1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．　　2.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数　　　有3、4、5；6、8、10；5、12、13等.　　3.应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和，再把它和最大边的平方比较.　　4.判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理

2、，即　　　去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.例题解析：　　【例1】如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.　　分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.　　解：连接AC，在Rt△ABC中，　　　　AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，∴AC=5.　　　　在△ACD中，∵AC2＋CD2=25＋122=169，　　　　而AB2=13

3、2=169，　　　　∴AC2＋CD2=AD2，∴∠ACD=90°．　　　　故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.　　答：四边形ABCD的面积为：36.　　【例2】如下图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离B艇的距离是12海里.若走私艇

4、C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？　　　　　　　　　　　　　　　　　　分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.　　解：设MN交AC于E，则∠BEC=900.　　　　又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，　　　　∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.　　　　又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是线段CE的长，　　　　则CE2+BE

5、2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，　　　　∴CE=，÷13=≈0.85（小时），0.85×60=51（分）.　　　　9时50分+51分=10时41分.　　答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.　　【例3】如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：设A

6、D=x米，则AB为（10+x）米，　　　　AC为（15-x）米，BC为5米，　　　　∴(x+10)2+52=(15-x)2，　　　　解得x=2，　　　　∴AB=10+x=12（米）　　答：树高AB为12米。　　【例4】如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：　　①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.　　②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH

7、始终通过点B，另一直角边PF与DC的延　　　长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：①设AP=x，则根据题意可得　　　　　　　　　　化简可得　　　　　　　　　　解得x=2或8　　　　　答：存在，AP=2或8.　　　　②过点E作BC边的垂线可转化为①，解得AP=4.　　【例5】如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.　　　　

8、　　　　　　　　　　　　　　　　解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，∵AE2=EF2+AF2，∴△AEF是直角三角形.　　【例6】如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.