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1、平面向量应用<一）导学案授课人:高三文科备课组一、学习目标：二、要点知识整合1．向量的概念(1>零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2>长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3>方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量>．(4>如果直线的斜率为k，则a＝(1，k>是直线的一个方向向量．(5>向量的投影：
2、b
3、cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．向量的运算(1>向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2>平面向量
4、数量积的结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即a·b＝
5、a
6、
7、b
8、·cos〈a，b〉．b5E2RGbCAP3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(>，b＝(>，则a∥b⇔a＝λb⇔＝0.a⊥b⇔a·b＝0⇔.重点：平面的数量积运算难点：平面向量与几何综合三、基础训练四、热点突破探究题型一平面向量的数量积例1已知
9、a
10、＝4，
11、b
12、＝3，(2a－3b>·(2a＋b>＝6
13、1.(1>求a与b的夹角；(2>求
14、a＋b
15、；(3>若＝a，＝b，求△ABC的面积．p1EanqFDPw自主解答：【解】 (1>由(2a－3b>·(2a＋b>＝61，得4
16、a
17、2－4a·b－3
18、b
19、2＝61，∵
20、a
21、＝4，
22、b
23、＝3，代入上式得a·b＝－6，∴cosθ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.DXDiTa9E3d(2>
24、a＋b
25、2＝(a＋b>2＝
26、a
27、2＋2a·b＋
28、b
29、2＝42＋2×(－6>＋32＝13，∴
30、a＋b
31、＝.4/4(3>由(1>知∠BAC＝θ＝120°，
32、＝
33、a
34、＝4
35、，
36、
37、＝
38、b
39、＝3，RTCrpUDGiT∴S△ABC＝
40、
41、
42、
43、sin∠BAC5PCzVD7HxA＝×3×4×sin120°＝3.探究提高：(1)准确利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝及向量模的公式
44、a
45、＝.jLBHrnAILg(2>在涉及数量积时，向量运算应注意：①a·b＝0，未必有a＝0，或b＝0；②
46、a·b
47、≤
48、a
49、
50、b
51、；③a·(b·c>≠(a·b>·c.变式训练1：已知平面内三个向量：a＝(3,12>，b＝(－1,2>，c＝(4,1>．(1>求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2>若(a＋k
52、c>∥(2b－a>，求实数k.解：(1>∵a＝mb＋nc，m，n∈R，∴(3,12>＝m(－1,2>＋n(4,1>＝(－m＋4n,2m＋n>，∴解得xHAQX74J0X所以实数m，n的值分别为5,2.(2>∵a＋kc＝(3,12>＋k(4,1>＝(4k＋3，k＋12>，2b－a＝(－2,4>－(3,12>＝(－5，－8>，又(a＋kc>∥(2b－a>，∴－8(4k＋3>＋5(k＋12>＝0，∴k＝.题型二平面向量与三角函数例2已知向量a＝(cosα，sinα>，b＝(cosβ，sinβ>，c＝(－1,0
53、>．(1>求向量b＋c的长度的最大值；(2>设α＝且a⊥(b＋c>，求cosβ的值．【解】 (1>法一：b＋c＝(cosβ－1，sinβ>，则
54、b＋c
55、2＝(cosβ－1>2＋sin2β＝2(1－cosβ>．∵－1≤cosβ≤1.∴0≤
56、b＋c
57、2≤4，即0≤
58、b＋c
59、≤2.当cosβ＝－1时，有
60、b＋c
61、＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.法二：∵
62、b
63、＝1，
64、c
65、＝1，
66、b＋c
67、≤
68、b
69、＋
70、c
71、＝2.当cosβ＝－1，sinβ＝0时，有b＋c＝(－2,0>，即
72、b＋c
73、＝2，所以向量b＋c的长度
74、的最大值为2.(2>法一：由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ>．a·(b＋c>＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β>－cosα∵a⊥(b＋c>，∴a·(b＋c>＝0，即cos(α－β>＝cosα.4/4由α＝，得cos(－β>＝cos，即β－＝2kπ±(k∈Z>，LDAYtRyKfE∴β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，于是cosβ＝0或cosβ＝1.法二：若α＝，则a＝(，>．又由b＝(cosβ，sinβ>，c＝(－1,0>得a·(b＋c>＝(，>·(cosβ－1，si
75、nβ>＝cosβ＋sinβ－.Zzz6ZB2Ltk∵a⊥(b＋c>，∴a·(b＋c>＝0，即cosβ＋sinβ＝1.∴sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1>＝0.解得cosβ＝0或cosβ＝1，经检验，cosβ＝0或cosβ＝1即为所求．探究提高: 向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性．(1>解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；(2>常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想．dvzfv
