拓扑空间开集闭集闭包聚点邻域.doc

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1、第一章拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间<直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性§1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析

2、里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y>=

3、x-y

4、,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1,x2,…，xn>,Y=(y1,y2,…，yn>之间的距离b5E2RGbCAPd(x,y>=。无论是几维空间，它的距离都有下面的性质：1.d(x,y>≥0,x,y∈。2.d(x,y>=0x=y。p1EanqFDPw3.d(x,y>=d(y,x>x,y∈。4.d(x,z>≤d(x,y>+d(y,z>,x,y,z∈。DXDiTa9E3d

5、这些性质反映了距离的特征。将推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。<一）度量空间17/171.定义定义1设X是一个集合，ρ：X×X→R,如果对于任何x,y,z∈X,有①<正定性）ρ=0x=y；②<对称性）ρ(x,y>=ρ(y,x>；③<三角不等式）ρ(x,z>≤ρ(x,y>+ρ(y,z>则称ρ是集合X中的一个度量。如果ρ是集合X中的一个度量，则称偶对

6、.1实数空间R对实数集合，定义ρ：R×R→R如下：x,y∈R，令ρ

7、x-y

8、,易知ρ是R的一个度量。因此,Y=(y1,y2,…，yn>∈，令ρ

9、。jLBHrnAILg例2.1.2Hilbert空间H记H是平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H={x=(x1,x2,…，xn>

10、xi∈R,i∈Z+,},定义ρ：H×H→R如下：对于任意x=(x117/17,x2,…，xn>,Y=(y1,y2,…，yn>∈H，令ρ

11、散的度量，如果对每一个x∈X,存在一个实数使得ρ,对任何y∈X，y≠x成立。如，设X是一个集合，定义ρ：X×X→R,使得对于任何x,y∈X,有,易知ρ是X的一个离散度量，度量空间={f:[a,b]→R

12、f在[a,b]上连续}，并且对于任意的f,g∈C([a,b]>,令d(f,g>=,d是C([a,b]>的度量吗？LDAYtRyKfE<答案：d是C([a,b]>的度量，因此，d）是一个度量空间）1.邻域、开集⑴度量空间的球形邻

13、域及其基本性质定义2.设0，B

14、ρ。定理1.0.1度量空间

15、量空间，AX，如果，使B(a,ε>X，则称A是X的一个开集。由定理2.1.1的③知，X的球形邻域都是开集。例2.1.7实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间、闭区间都不是开集。两个开区间的并也是开集。可见，度量空间的开集是实数空间开区间的推广。定理1.0.2度量空间X的开集具有以下性质：①集合X本身和空集Ф都是开集；②任何两个开集的交是开集；③任何一个开集族的并是开