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1、等比数列经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1.等比数列中,,,求.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.总结升华:①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89
2、=16,求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列,若,,求。类型二:等比数列的前n项和公式例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.解析:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a1≠0,得S3+S6≠2S9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1.由得,,整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q≠0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q3≠1,故,所以。举一反三:【变式1】求等比数列的前6项和。【变式2】已知:
3、{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.【变式3】在等比数列中,,,,求和类型三:等比数列的性质例3.等比数列中,若,求.举一反三:【变式1】正项等比数列中,若a1·a100=100;则lga1+lga2+……+lga100=_____________.【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________。类型四:等比数列前n项和公式的性质例4.在等比数列中,已知,,求。思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,
4、即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍然成等比数列。举一反三:【变式1】等比数列中,公比q=2,S4=1,则S8=___________.【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求:S30=?【变式3】等比数列的项都是正数,若Sn=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.【答案】∵,∴(否则)∴=80........(1)=6560.........(2),(2)÷(1)得:1+qn=82,∴qn=81......(3
5、)∵该数列各项为正数,∴由(3)知q>1∴{an}为递增数列,∴an为最大项54.∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q,∴81a1=54q..........(4)∴代入(1)得,∴q=3,∴n=4.【变式4】等比数列中,若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_____________.【变式5】等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。类型五:等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成
6、等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d,a,a+d;若三数成等比数列,可设此三数为,x,xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三:【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三
7、项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.类型六:等比数列的判断与证明例6.已知数列{an}的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式,并判断{an}是何种数列?思路点拨:由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式,
8、通过通项公式判断{an}类型.【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p,q,且p≠q为证{Cn}不是等比数列,只需证.∵,∴,又∵p≠q,a1≠0,b1≠0,∴即∴数列{Cn}不是等比数列.【变式3】判断正误:(1){an}为等比数列a7=a3a4;(2)若b2=ac,则a,b,c为等比数列;(3){an},{bn}均为等比数列,则{anbn}为等比数列;(4){an}是公比为q的等比