11.9representationsoffunctions

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1、§11.9RepresentationsofFunctionsasPowerSeries12n源頭函數：1xx......x,

2、x

3、1.1xn0(i).直系函數：Example1：11x2n1nx2n,x21

4、x

5、1.221x1xn0n0Example2：1111xnxnxxn1,

6、x

7、2.2212n02n022Example3：x3x31x3xnxn3n1n1,

8、x

9、2.x22x2n02n0212(ii).旁系函數：(re

10、latedto直系函數by微分和積分)＊註記：1.Powerseries在絕對收斂的範圍(即收斂區間)可作逐項微分或積分的動作。2.有時須微分或積分不只一次才到直系。1國立交通大學應用數學系莊重教授Example4：(i).Findthepowerseriesrepresentationofln(1-x).(ii).Expressln2asaconvergentinfiniteserieswithallpositiveterms.Solution：23n1xxxln1xcx...c23n0n1ddx1n2x1x

11、x......,

12、x

13、1.1xn0Letx=0⇒ln1=0=c.n1xln1x,

14、x

15、1n0n1nx,

16、x

17、1.n1nExample5：1(i).Findthepowerseriesrepresentationoff(x)tanx.x1n(ii).Letf(x)tantdtanx.Thena8?0n0Solution：1n2ntanxc1x

18、x

19、1.dn0dx1n2n21x,

20、x

21、1.1xn0-1Letx=0⇒tan0=0=c+0⇒cൌ0.n2n11

22、1xtanx,

23、x

24、1.n02n1Example6：1Findthepowerseriesrepresentationoff(x).21x2國立交通大學應用數學系莊重教授Solution：1n12nx,

25、x

26、1.1xn1ddx1nx,

27、x

28、1.1xn0Example7：1Evaluatedxasapowerseries.71xSolution：1dx71xn7n1xdxn0n7n1xdxn07n1nx1c

29、x

30、1.n07n1Example8：

31、n11.nx?,

32、x

33、1.n1n2.(i)nx?,

34、x

35、1.n1n(ii)n?n12n3.(i)nn1x?,

36、x

37、1.n22nn(ii)n?n222n(iii)n?n123國立交通大學應用數學系莊重教授Solution：1.For

38、x

39、<1,wehaven1dndnd11nxxx2.n1n1dxdxn1dx1x1x2.(i)For

40、x

41、<1,wehavenn1xnxxnx2(此例子為旁系+直系)n1n11x1n2(ii)n22.n

42、12112n3.(i)For

43、x

44、<1,wehavenn1xn222n22dn12dn12xxnn1xxnxxnx3.n2n2dxdxn21x2122nn2(ii)n34.n2212222nnnnnnn(iii)nnnnn426.n12n12n12n22n124國立交通大學應用數學系莊重教授