2019版高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用课件新人教B版.pptx

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1、3.3.3导数的实际应用1.会利用导数解决实际问题中的最优化问题.2.体会导数在解决实际问题中的作用.1.最优化问题在经济生活中,人们经常遇到最优化问题.例如,为使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的方法之一.【做一做】下列问题不是最优化问题的是()A.利润最大B.用料最省C.求导数D.用力最省答案:C2.求实际问题的最大(小)值的步骤(1)建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),注明定义域.(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x

2、)=0,确定极值点.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大(小)者为实际问题的最大(小)值.名师点拨实际问题中的变量是有范围的,即应考虑实际问题的意义,注明定义域.利用导数解决实际问题时应注意什么?剖析:(1)写出变量之间的函数关系y=f(x)后一定要写出定义域.(2)求实际问题的最值,一定要从问题的实际意义去分析,不符合实际意义的极值点应舍去.(3)在实际问题中,一般地,f'(x)=0在x的取值范围内仅有一个解,即函数y=f(x)只有一个极值点,则该点处的值就是问题中所指的最值.题型实际问题中最值的求法【例1】某商场从生产厂家以每件20元的进价购进一批

3、商品,若该商品的售价定为p元,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2.问该商品零售价定为多少时利润最大,最大利润是多少?分析:建立销售利润关于零售价的函数,应用导数研究最值.解:设利润为L(p),由题意可得L(p)=(p-20)·Q=(p-20)(8300-170p-p2)=-p3-150p2+11700p-166000(p>0),∴L'(p)=-3p2-300p+11700.令L'(p)=0,得p=30或p=-130(舍去).则L(30)=23000.∵当00;当p>30时,L'(p)<0,∴当p

4、=30时,L(p)取得极大值.根据实际问题的意义知,L(30)就是最大值,即零售价定为每件30元时,利润最大,最大利润为23000元.反思根据课程标准的规定,有关函数最值的实际问题,一般指的是单峰函数,也就是说在实际问题中,如果遇到函数在一个区间内只有一个点使f'(x)=0,且该函数在这点取得极大(小)值,那么不与区间端点的函数值比较,就可以知道这就是实际问题的最大(小)值.【例2】将一段长为100cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,问怎样截能使正方形与圆的面积之和最小?分析:设其中一段长为xcm,则另一段长为(100-x)cm,然后用x表示出正方形与圆的面

5、积之和S,求出方程S'=0的根,该根即为所求.反思在求最值时,往往需要建立函数关系式,若问题中给出的量较多时,一定要通过建立各个量之间的关系,通过消元法达到建立函数关系式的目的.解析:当x>400时,利润f(x)=80000-20000-100x,∴当x>400时,f(x)<20000.当0≤x≤400时,f(x)=R(x)-20000-100x=-x2+300x-20000,∴f'(x)=-x+300.令f'(x)=0,则x=300.∵当0≤x<300时,f'(x)>0,当300

6、丝围成矩形,当长为cm,宽为cm时,矩形面积最大.答案:10104将长为52cm的铁丝剪成2段,各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形,则面积之和的最小值为cm2.解析:设剪成的2段中其中一段为xcm,x∈(0,52),则另一段为(52-x)cm,围成两个矩形的面积和为Scm2.令S'=0,解得x=27.则另一段为52-27=25(cm).此时Smin=78cm2.答案:78