最新概率论讲义(2014)

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1、概率论讲义【前言】本讲义虽经两次修订，但仍系仓促成稿，错漏之处在所难免；请读者不吝赐教！（联系方式：zijunyxq@163.com）讲义中所选习题系作者多年教学积累；讲义的内容几经锤炼且有别于绝大多数讲义、教材；其最大特色在于架起了初等概率论与高等概率论之间的友好“桥梁”，特别适合期待进一步深造的经管类、理工类学生！讲义后所附的阅读材料可供学有余力时选读，其所选内容会在以后的修订中有所调整或增删！第一章随机事件及其概率§1概率论的发展简史§2随机事件及其概率§3概率模型与公理化结构§4条件概率§5事件（试验）的独立性第二章离散型随机变量§1离散型随机变量及

2、其分布§2离散型随机变量的数字特征§3离散型随机变量的条件分布、独立性§4条件数学期望第三章连续型随机变量§1连续型随机变量及其分布§2连续型随机变量的数学期望§3连续型随机变量的独立性§4条件分布与条件数学期望§5随机向量的函数、随机变量的函数和随机向量的向量值函数的分布§6概率不等式、协方差和相关系数、二元正态分布第四章极限定理§1（弱）大数定律§2中心极限定理【附录部分】阅读材料一－关于正态分布的推导（基于极大似然方法）1阅读材料二－R－S积分及其性质阅读材料三－条件期望的另一种计算方法阅读材料四－微分法求（联合）概率密度阅读材料五－期望向量、协方差矩

3、阵与多元正态分布【参考阅读书目】１．随机数学－钱敏平、叶俊著，高等教育出版社；２．随机数学引论－林元烈著，清华大学出版社；３．概率论－杨振明著，科学出版社；４．概率与统计－陈家鼎、郑忠国著，北京大学出版社；５．概率论基础教程－SheldonM.Ross著（中译本：郑忠国、詹从赞译），人民邮电出版社；６．概率论与数理统计教程－茆诗松著，高等教育出版社；７．应用概率统计－刘嘉焜等著，科学出版社；８．测度与积分－赵荣侠等著，西安电子科技大学出版社；第一章随机事件及其概率§1概率论的发展简史概率论是研究随机现象数量规律性的一门学科，它源于对机会游戏（赌博问题）的研究

4、。概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡(Pascal)与费马(Fermat)的讨论中才比较明确，他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问题"；该问题可以简化为：甲、乙两人同掷一枚硬币，各出相同的赌注；规定：掷出正面者获胜；先胜满三局者赢取全部赌注。假定在甲胜二局乙胜一局时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。帕斯卡：若再掷一次甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下；若乙胜，甲、乙平分赌注；甲应得总赌注的3，乙得总赌注的1。44费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：情况１２３４赌局甲甲甲乙乙甲乙

5、乙；前3种情况，甲获全部赌注，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得总赌注的3，乙42得总赌注的1。4帕斯卡与费马各自用不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念；但是他们定义了使该赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等地提出均促进了概率论的发展。从17世纪到19世纪，贝努利、棣莫弗、拉普

6、拉斯、高斯、泊松、切比雪夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果以及在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义（古典概率）的局限性很快便暴露了出来，其甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支缺乏严格的理论基础。概率论的第一本专著是1713年问世的雅各布·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在书中表述并证明了著名的“大数定律”。所谓“大数定

7、律”，简单地说就是，当试验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。为概率论首先建立严格理论基础的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》并于其中建立了概率论的公理化体系，成为概率论发展史上的一个里程碑，为其以后的迅速发展奠定了基础。20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论获得了飞速发展，其理论课题不断扩大与

8、深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，3概率论的方