微分方程求解.pdf

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1、微分方程要点：如何验证微分方程的解：求出y(x)的导数y(x)、y(x)等，代入到微分方程中，当等式两边相同时，即说明y(x)是该方程的解。1.验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：222⑴yyy0，yCxCx；212xx3x4x⑵y7y12y0，yCeCe；12xx⑶xy2yxy0，xyCeCe。122解：⑴∵yCxCx，∴yC2Cx，y2C，代入方程后，得：121222222C12C1左边2C(C2Cx)(CxCx)2

2、C4C2C0右边。212212222xxxx3x4x3x4xy9Ce3x16Ce4x⑵∵yC1eC2e，∴y3C1e4C2e，12，于是3x4x3x4x3x4x左边9Ce16Ce7(3Ce4Ce)12(CeCe)1212123x4x3x4x3x4x9Ce16Ce21Ce28Ce12Ce12Ce0右边。121212xx⑶对所给函数xyCeCe两边分别对x求导两次，得：12xxxxyxyCeCe，2yxyCeCe，1212x

3、x注意到CeCexy，上面右边的关系式便说明：xy2yxy成立，12即所给的函数满足微分方程。注意：此题也可单独计算y，y，再代入微分方程中验证，但计算量较大。要点：使用分离变量法注意问题：积分常数处理：变量可分离方程是通过积分与微分互抵而得出解函数的，为了使计算式简洁，积分常数可写成如下形式：⑴写做C适合于积分后无需化简情形；1⑵写做lnC（C0），适合于积分后出现对数的情形；虽然限制C0，但lnC仍可取到任何实数。防止掉解：在寻求以y为因变量的解函数时，如果在分离过程中，进行了

4、“两边同时除以(x,y)”1的变形，则应要求(x,y)0，并且要讨论(x,y)0所对应的解函数。有时候这些解可以通过扩大任意常数C的范围而包含到通解yy(x,C)中。2.求下列各微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：2⑴(1y)dx(1x)dy0；⑵xydx1xdy0；222⑶(12y)xdx(1x)dy0；⑷(xyx)dx(yxy)dy0；dxdy⑸ylnxdxxlnydy0；⑹0，y4；x3yxxy⑺dxdy0，y1。x01y1x解：⑴

5、将方程化做变量分离的形式：(1y)dx(1x)dy0dxdydxdy（x1，y1），两边积分，得：，1x1y1x1y得：ln1xln1ylnC（C0），化简：ln(1y)(1x)lnC，得通解：(1y)(1x)C（C为任意常数）。xdxdy⑵分离变量，得：（y0），1x2y21d(1x)dy2两边积分，得：，得：1xlnylnC（C0），21121xy21x通解为：yCe（C为任意常数）。xdxdy⑶分离变量，得：（1

6、2y0），21x12y1211两边积分，得：ln(1x)ln12ylnC（C0），1122222即(1x)12yC，通解为：(1x)(12y)C（C为任意常数）。11其中C0对应着特解：y。22xdxydy⑷分离变量，得：，两边积分，得：221x1y2121211yln1xln(1y)lnC（C0），通解为：C（C0）。22221xlnxlny12121⑸分离变量，得：dxdy0，两边积分，得：(lnx)(lny)C，xy22222通解为

7、：(lnx)(lny)C（C0）。2222⑹两边积分，得：xyC，代入初始条件y4，得：xy25。x3⑺方程变形为：x(1x)dxy(1y)dy，两边积分，得：131213125xxyyC，代入初始条件y1，得：C，x0323263232故所求特解为：2x3x2y3y5。要点：齐次方程的两种解法：y推导法：引入u，结合yuxu来消去y及y，化为u(x)的可分离变量方程并求得解函数xu(x)后，再代回原变量y(x)。duyf(u)uy公式法：

8、对形为yf的方程，直接利用推出的通解公式Cxe，完成积分后，利用uxx代回变量y即可。推导法有助于了解换元的作用，公式法则能更快地得到结果。3.求下列各微分方程的通解或在给定初始条件下的特解：y⑴y；⑵(xy)dxxdy0；yx22233⑶xyyxy0；⑷xydy(xy)dx。解：⑴、⑵采用代换法求解；⑶、⑷采用公式法求解。yxuduu(2u)⑴方程变形为：y，令y