从“韩信点兵”谈起.pdf

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1、l新高考数学一从韩信点兵卯谈起江苏省江阴市要塞中学张明凤大漠沙如雪，沙场秋点兵．2，除以5余3，除以7余2，求这个数．这样的那点兵的将军便是韩信，故事就叫“韩问题，我们也称为“韩信点兵”，它形成了一信点兵”．类问题，也就是初等数论中同余式问题．此类问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理．中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非早在一千多年前的《孙子算经》中，有这常重要的地位，这也是国际上公认的以中国样一道算术题

2、：“今有物不知其数，三三数之命名的数学定理之一．剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几我们今天再来考虑这个问题，可以有多何?”把这个问题翻译一下，一个数除以3余种策略．综上所述，利用该结论解决与三角形外心有关的向量题时，无须画图，只要出现“．，，这种形式即可．因此，可以说1．由．蕊一面·蔬得：·(一)一．·一1I-A~Iz是解答这类问题的一(豌一葡)，．蔬一苟．一蔚．赢一茄．，上把利器．式中的每一项都是“圆中有公共端点的半径与弦的向量数量积形式”，即譬一等一鲁一譬，所以：2．1．已知点0是△ABC的

3、外心，角A，B，2．由一m(++)得，一(C的对边分别为a，6，c，若面·一·++)，一一(+茄+)，，求的值．上式两端“点乘，，赢得，·赢一．葡一c‘(．蘸+葡．+．亩)2．(2005年全国卷)△ABC的外接圆的因为H是垂心，所以．一0，从而．圆心为()，两条边上的高的交点为H，一一(．葡+面．一茄．蔬)(++)，求实数m的值．即．蘸一m(．+1I靛{。一1If)一．葡，求得m一1百．60NewUniversityEntranceExamination策略一：枚举筛选法z一3t1，lz一7t1．⑥把

4、满足题目条件的数分别列出来，从中从而有Y一一4+，找出同时符合三个条件的最小正数．被3除余2的数有：2，5，8，l1，14，17，2O，23，26，再令一(￡∈N)，则一5t+1．⋯；被5除余3的数有：3，8，13，18，23，28，所以x一35t2-+-7，Y===21t2十4，z一15t2⋯；被7除余2的数有：2，9，16，23，⋯．观察+3，W一105t+23，这就是“物不知数”问后可以发现23就是同时符合三个条件的最题的通解公式，显然当t一0时，有最小正小的正整数．又因为3，5，7两两互质，最

5、小整数解W一23．这个解法手工操作起来好像公倍数为105，所以问题的通解形式为W=23+]05t(tEN)．这种解法对所求结果数较有点儿复杂，但有计算机的帮助，我们的工小时较为适用，其方法也很重要，许多整数作量可以大大减轻．解的问题可以尝试用此法来解决．值得一提的是，我国古代杰出数学家秦策略二：方程组解法九韶，他在《数书九章》中系统总结和发展了刚才的物不知数”或者说“韩信点兵”一次同余问题的解法，提出了相当完备的问题，我们可以表示成方程或方程组．设物“大衍求一术”，也就是“中国剩余定理”．同数为w，w

6、被3，5，7除所得的不完全商分时，刚才的问题体现了我国古代数学的鲜明另U为z，，z，贝0有：特色，也就是“寓理于算”，即把要解决的问fW一3x+2，①题“算法化”．“韩信点兵”就是其中有代表性w一5+3，②(w，z，Y，z∈N)的例子．【W一7z+2，③到了现代，吴文俊教授从2O世纪7O年这是一个“未知数的个数(这里有W，z，代中开始，由原先的拓扑学领域转向定理机Y，z共4个)多于方程的个数(这里有3个)”的方程组．我们把这样的方程叫做不定方器证明的研究，并开创了现代数学的崭新领程，把前面这样的方程组

7、叫做不定方程组．域——数学机械化，处于国际领先地位，正方程或方程组的解不一定是唯一确定的，这如吴文俊所言：他的工作“主要是受中国古便是“不定方程”和“不定方程组”中“不定”代数学的启发”，“古为今用”．“吴方法”是中二字的由来．国古代数学算法化、机械化精髓的发扬由①②消去w，得3z一5y=1，④光大．由①③消去W，得3x=7z．⑤我们期待着更多的数学爱好者为“重建，7～由⑤式得z一，令z一3t(EN)，得数学大国”(陈省身猜想)而努力．