一题多解与一题多变.doc

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1、一题多解与一题多变浦东新区彭镇中学王国新在几何证明题中，学生往往只注意证明结果，而不注意证明的方法，有时用的方法过于繁琐。对于一道题的证明方法往往不是一种方法。在教学中，我非常注重对几何证明题的一题多解和一题多变，取得了较好的教学效果。原题：已知，如图（1）：∠BAC=90°，BA平分∠DBC，BD⊥DE，CE∥BD。求证：BC=BD+CE。分析：这种题形一般有两种方法，一种是把一条线段截成两条线段，另一种是把两条线段接成一条线段。本题可过点A做AF⊥BC，F为垂足，分别证BF=BD，CF=CE

2、即可。或延长BD、CA交与点F，再证BF=BC。证法一，过点A作AF⊥BC、F为垂足。在△ABD和△ABF中∴△ABD≌△ABF(A,A,S)∴BD=BF，∠BAD=∠BAF，∠D=∠AFB(全等三角形的对应边相等,对应角相等.)∵∠BAF+∠CAF=90°(垂直定义),∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°(平角定义)∴∠DAB+∠EAC=90°(等式性质)∴∠CAF=∠CAE(等角的余角相等)∵CE∥BD(已知)∴∠D+∠E=180°(二直线平行,同旁内角互补.)∵∠AFB+∠AFC=180

3、°(平角定义)∴∠E=∠AFC(等角的补角相等)在△ACF和△ACE中∴△ACF≌△ACE(A.A.S)∴CE=CF(全等角形三的对应边相等)∴BD+CE=BF+FC既BC=BD+CE证法二,延长CE,BA交于F.∵BD∥CE(已知)∴∠F=∠DBA(二直线平行,内错角相等.)∵∠ABD=∠ABC(已知)∴∠F=∠ABC（等量代换）∴CB=CF（等角对等边）∵∠CAB=90°(已知)∴AB=AF（等腰三角形三线合一）在△ABD和△AEF中∴△ABD≌△AEF（A.S.A）∴BD=EF(全等三角形

4、的对应边相等)∵CF=CE+EFCB=CF∴CB=CE+BD证法三，在CB上取一点F，使BF=BD，连接AF，在△ABD和△ABF中∴△ABD≌△ABF(S.A.S)∴∠BAD=∠BAF∠D=∠AFB=90(全等三角形的对应角相等)∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°(已知)∠DAB+∠BAF+∠CAF+∠CAE=180°(平角定义)∴∠BAD+∠CAE=90°(等式性质)∴∠CAE=∠CAF(等角的余角相等)∵CE∥BD(已知)∴∠D+∠E=180°(二直线平行,同旁内角互补.)∵∠D=90

5、°(垂直定义)∴∠E=90°(等式性质)在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF(A,A,S)∴CF=CE(全等三角形的对应边相等)∴CF+BF=BD+CE即BC=BD+CE证法四,在CB上取一点F，使CF=CE，连接AF。以下同证法三类似，略。变式：本题可改编以下几个题目：1，如图，BA平分∠DBA，CA平分∠BCE，BD∥CE，求证：BC=BD+CE。证明：在CB上取一点F，使BF=BD，连接AF，在△ABD和△ABF中∴△ABD≌△ABF(S.A.S)∴∠D=∠AFB(全等三角形的对应角

6、相等)∵BD∥CE（已知）∴∠D+∠E=180°(二直线平行,同旁内角互补.)∵∠AFB+∠AFC=180°(平角定义)∴∠E=∠AFC(等角的补角相等)在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF(A,A,S)∴CF=CE(全等三角形的对应边相等)∴CF+BF=BD+CE即BC=BD+CE还可以用上面证法二的方法证明，略。2，如图，BA平分∠DBA，DA=DE，∠BAC=90°，求证：BC=BD+CE。3，如图，BA平分∠DBA，CA平分∠BCE，，BC=BD+CE，求证：BD∥CE。4，如图，

7、BA平分∠DBA，DA=DE，BC=BD+CE，求证：BD∥CE。5，如图，BA平分∠DBA，CA平分∠BCE，BC=BD+CE，求证∠BAC=90°。6，如图，DA=DE，BD∥CE，BC=BD+CE，求证：BA平分∠DBA。以上题目的证法与上面的证法类似。通过对这道题的多种解法的训练和题目的多种变化，较好地提高了学生对这类问题的分析解答能力，特别是对辅助线的作法，达到了预期的教学效果。