2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.2利用基本不等式求最值学案新人教A版.docx

《2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.2利用基本不等式求最值学案新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第2课时　利用基本不等式求最值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．　基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(　　)(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　

2、)(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　)(4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×题型一利用基本不等式求最值【典例1】　(1)若x>0，求y＝4x＋的最小值；(2)设02，求x＋的最小值；(4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[思路导引]　利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解]　(1)∵x>0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2＝2＝12，当且仅当4x＝

3、，即x＝时，y＝4x＋取最小值12.(2)∵00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取“＝”．∴y的最大值为.(3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝6.当且仅当x－2＝，即x＝4时，x＋取最小值6.(4)∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16.当且仅当＝且＋＝1时等号成立，即x＝4，y＝12时等号成立．∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.[变式]　(1)本例(3)中，把“x>2”改为“x<2”，则x＋的最值又如何？(

4、2)本例(3)中，条件不变，改为求的最小值．[解]　(1)∵x<2，∴2－x>0，∴x＋＝x－2＋＋2＝－＋2≤－2＋2＝－2.当且仅当2－x＝，即x＝0时，x＋取最大值－2.(2)＝＝x－2＋＋2≥2＋2＝6当且仅当x－2＝，即x＝4时，原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．[针对训练]1．已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．[解析]　∵x，y>0，∴＋＝1≥2

5、，得xy≤3，当且仅当＝即x＝，y＝2时，取“＝”号，∴xy的最大值为3.[答案]　32．已知x，y>0，且x＋y＝4，则＋的最小值为________．[解析]　∵x，y>0，∴(x＋y)＝4＋≥4＋2，当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号，又x＋y＝4，∴＋≥1＋，故＋的最小值为1＋.[答案]　1＋3．若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为________．[解析]　∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取“＝”号．∴f(x)的最大值为－1.[答案]　－1题型

6、二利用基本不等式解决实际问题【典例2】　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路导引]　设每间虎笼长xm，宽ym，则问题是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值．[解]　(1)设每间虎笼长xm，宽为ym，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2

7、≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．解法二：∵2x＋3y＝18，∴S＝xy＝·(2x)·(3y)≤·2＝＝.(以下同解法一)(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．[针对训练]

8、4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少1