单自由度振动方程的解

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1、单自由度体系振动方程的解重点：杜哈美积分难点：杜哈美积分的来源一、无阻尼的自由振动记ω2=初始条件为：)sin()(aw+=taty无阻尼自由振动是简谐振动tα/ωa－a①自振频率只与结构的质量和结构的刚度有关，与初始条件及外界的干扰力无关。②自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。——自振频率stgD=Wg=dm=d1Δst—在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产

2、生的位移。二、有阻尼的自由振动记利用常数变易法，令n为衰减系数1.当n>ω时（强阻尼）2．n=ω时（称为临界阻尼）S(t)=B1+B2tn=Ccr=2mω（此式为确定临界阻尼的公式）=ωtyy0θ0称为阻尼比对钢筋混凝土结构ξ<5%，一般取3%对钢结构ξ=1%—2%3）当n<ω时（弱阻尼）令ty1.瞬时冲击荷载作用时的强迫振动tP(t)Δt特点：①作用时间与系统的自振周期相比很小②Δt时间内P（t）可视为常数设单自由度体系在静止状态，在极短时间Δt内作用干扰力P(t)，在时间t–t0内由动量定理

3、得若t0=0时v0=0则，于是，在（0，t）时间内系统产生的位移反应y(t)为三、无阻尼的强迫振动由假设，干扰力作用的时间为Δt，则Δt时间内系统产生的速度反应和位移反应分别为y(t)和v(t)比较是高阶无穷小量，Δt极短，故可认为:Δt时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为初位移为的自由振动。瞬时冲击荷载移去后，运动成为自由振动若时间t不是从0开始，而是从τ开始的，则上式写为：2.一般性动力荷载P（t）作用于系统时考虑P（t）在（0，t）时间内作用于系统，认为是由无数个瞬时冲击荷载的叠加，如

4、图。P（t）tττ+dτ考虑由时刻τ开始，在dτ时间内的位移反应则，在（0，t）时间内作用于系统，系统所产生的位移反应为此式称为杜哈美积分（卷积、褶积）如果叠加自由振动部分，可得位移反应P（t）tττ+dτ3.简谐荷载作用下的解以P（t）=Psinθt代入杜哈美积分得：为静位移为动力系数由于P（t）作用，由振动系统产生，称为生态振动由P（t）自身产生，称为稳态振动上式由两部分组成生态振动由于阻尼的影响，较长时间后振动会消失，故，方程式的稳态解为：反映了惯性力的影响动力系数谱曲线1230.51.0

5、1.52.0<1，称为共振前区，为减小动力系数，可采取增大ω的方法--------刚性方案>1，称为共振后区，为减小动力系数，可采取减小ω的方法--------柔性方案工程中，把0.75<<1.25的区域称为共振区，设计时应避开。四、有阻尼的强迫振动（弱阻尼）1.瞬时冲击荷载作用下的位移反应tP(t)ΔtΔt时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为初位移为的自由振动。有阻尼的自由振动位移反应若t从τ开始，则上式写成2.任意动力荷载p（t）作用时的位移反应考虑P（t）在（0，t）时间内作用于系统，

6、认为是由无数个瞬时冲击荷载的叠加，如图。P（t）tττ+dτ*3.简谐动力荷载Psinθt作用下的解设特解（稳态解）：y（t）=B1cosθt+B2sinθt令B1=-Csinε，B2=Ccosε，则：y(t)=Csin（θt-ε）式中，C为振幅，ε为相位角。,C=静位移动力系数给出不同的阻尼比ξ，画出位移反应谱示意图如下123450.51.01.52.0ξ=0.05ξ=0.2ξ=0.25①μ随阻尼比ξ的增大而下降较快，特别是在=1附近*123450.51.01.52.0ξ=0.05ξ=0.2ξ

7、=0.25②共振时=1，此时μ=（不是最大值），μmax=，在=1的左侧*123450.51.01.52.0ξ=0.05ξ=0.2ξ=0.25③当θ=ω时，ε=*③当θ=ω时，ε=惯性力：弹性力：阻尼力：n=可见，共振时惯性力与弹性力平衡；阻尼力与外力（干扰力）平衡。若无阻尼，则无任何力与外力（干扰力）平衡，以致出现y(t)趋于∞，产生共振五、地震地面运动惯性力弹性力阻尼力