第一章 利息理论(年金问题)

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1、保险精算学ActuarialScience单位：广东医人文管理院主讲教师：曾理斌联系方式：andrewzeng2008@hotmail.com.cn第三节年金第三节汉英名词对照年金支付期延付年金初付年金永久年金变额年金递增年金递减年金AnnuityPaymentperiodAnnuity-immediateAnnuity-dueperpetuityVaryingannuityIncreasingannuityDecreasingannuity一、年金的定义与分类定义按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意

2、间隔长度的系列付款。分类基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金二、基本年金基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定分类付款时刻不同：初付年金/延付年金付款期限不同：有限年金/永久年金基本年金图示1.延付年金（期末付年金）2.初付年金（期初付年金）基本年金公式推导年金现值与累积值的关系例1.11一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。例1.12某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末

3、等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？例1.12答案（1）（2）例1.13假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若求这些付款的现时值。例1.13答案方法一：方法二：例1.14某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设恒定为3％。（1）求退休时个人帐户的积累值。（2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。例1.

4、14答案（1）退休时个人帐户积累值计算（2）退休后每年可领取退休金例1.15有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？例1.16——永久年金A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？例1.16答案基本年金公式总结年金有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付未知时间问题年金问题四要素年金、利率、支付时期（次数）、积累值（

5、现时值）关注最后一次付款问题在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（droppayment）在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloonpayment）例1.17有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）例1.17答案变利率年金问题类型一：时期利率(第K个时期利率为)变利率年金问题类

6、型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率计息）例1.18:某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.例1.18答案例1.19:某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.例1.19答案三、一般年金一般年金利率在支付期发生变化付款频率与利息转换频率不一致每次付款金额不恒定分类支付频率不同于计息频率的年金支付频率小于计息频率的年金支付频率大于计息频率的年金变额年金支付频率不同于计息频率年金分类支付频

7、率小于利息转换频率支付频率大于利息转换频率方法通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实质利率。年金的代数分析支付频率小于计息频率年金0k2k…nk计息支付11…1方法一:利率转换方法二:年金转换例1.20:某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.例1.20答案方法一:利率转换法方法二:年金转换法例1.21：永久年金有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永久年金的现时值。支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次每次支付…第nm次每次支付计息支付12…

8、n年金分析方法方法一：利率转换法年金转换法例1.22某购房贷款8万元,每月初还款