2002年全国高中数学联赛试题及答案.doc

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1、2002年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f(x)=的单调递增区间是(A)(-∞，-1)(B)(-∞，1)(C)(1，+∞)(D)(3，+∞)解：由x2-2x-3>0x<-1或x>3，令f(x)=,u=

2、x2-2x-3，故选A2、若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为(A)2(B)1(C)(D)解：B3、函数f(x)=(A)是偶函数但不是奇函数(B)是奇函数但不是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数解：A4、直线椭圆相交于A，B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，这样的点P共有(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解：设P1(4cosa,3sina)(0

3、⊿OAB=6∴∵<3∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B5、已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50}，若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有(A)(B)(C)(D)解：不妨设b1

4、要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为，则这样的映射共有，故选D。1、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则(A)V1=V2(B)V1=V2(C)V1=V2(D)V1=2V2yxxyoo4444-4-4-4-4解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为

5、y

6、，则所

7、得截面面积∵S1=p(42-4

8、y

9、),S2=p(42-y2)-p[4-(2-

10、y

11、)2]=p(42-4

12、y

13、)∴S1=S2由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故远C。一、填空题（本题满分54分，每小题9分）2、已知复数Z1,Z2满足

14、Z1

15、=2,

16、Z2

17、=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=。解：由余弦定理得

18、Z1+Z2

19、=,

20、Z1-Z2

21、=,=P9P1P2P3P4P5P6P7P8P103、将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有个。解：不难求出前三项的系数分别是，　　∵　　∴当n=8时，(r=0,1,2,…，8

22、)∴r=0,4,8,即有3个4、如图，点P1,P2,…,P10分别是四面体点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,Pj,Pk)(1

23、)=f(x)+1-x，则g(2002)=。解：由g(x)=f(x)+1-x得f(x)=g(x)+x-1∴g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+5∴g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x)∴g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x)∴g(x+1)=g(x)∴T=1∵g(1)=1∴g(2002)=11、若，则

24、x

25、-

26、y

27、的最小值是。解：　　由对称性只考虑y≥0，因为x>0，所以只须求x-y的最小值。　　令x-y=u代入x2-4y2=4中有3y2-