围绕核心 谐发展.doc

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1、围绕核心和谐发展-----------直线与圆的方程评点（311100）杭州市余杭高级中学曹凤山圆有圆心，每部分数学内容都有核心：核心知识、核心方法、核心数学思想.读书先由薄到厚，然后再由厚到薄，“薄”到最后就是要掌握核心.当然这些核心不是相互独立的，而是以问题为载体，知识、方法、数学思想要有机融合在一起.对这部分内容要做到概念理解准确、基本方法熟练、方程形式选择恰当、对几类关系判断准确应用灵活、能从数学思想方法的角度分析解决一些问题.一、关注重要概念【例1】下列命题中正确的是：（1）若直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；（2）若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

2、；（3）直线的倾斜角越大，它的斜率也越大；（4）若两条直线平行，则其斜率必相等；【评点】直线的倾斜角是直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为.直线倾斜角的范围是.每一条直线都存在惟一的倾斜角，直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但与轴垂直的直线不存在斜率，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.不过，由正切函数的性质，在上，正切函数并不是单调函数.因而以上命题均不成立.二、用好典型公式【例2】（1）已知实数满足，求的最小值；（2）求函数的最大值及取道最大值的条件；（3）已知实数满足，求的取值范

3、围.【评点】公式多、典型，且应用广泛、灵活，是这一部分的一大特点.其中如斜率公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式等.这些公式不仅要能够准确运用，还要把握公式的特征，在不同的问题情境下灵活应用.（1）中，由两点间的距离公式，可以看作是直线到原点的距离，于是最小值就是原点到直线的距离，；（2）中，可以看作点到点与点的距离的差，如图1.作点P关于X轴的对称点，连接B，当且仅当P、、B在一条直线上时，；(3)中，由斜率公式，可以看作单位圆上的点与（-1，-2）连线的斜率，当然只要关心在两个相切的位置即可，如图2，其中恰好有一条与轴垂直，另

4、一条由圆心到直线的距离公式可求出，故所求取值范围是.三、选择恰当的（直线、圆）方程形式【例3】直线过点（5，2），且在x轴上的截距是y轴上的截距的两倍，求该直线的方程.【评点】利用截距式.设所求直线方程为，依题意有解出,所求直线方程是上述解法是不全面的.截距是直线与坐标轴交点的坐标，可以取任意的实数，比如0.而截距为0是截距式表示直线的“盲点”，明显，本题中的直线过原点适合题意，故不能用截距式表示.当直线垂直于坐标轴或过原点时，就要避开截距式如用点斜式、斜截式等，或分类讨论.另一条满足条件的直线方程是直线方程有五种表示形式，就像人的五指一样各有长短，要根据题设

5、条件扬长避短灵活选择，做到形变式随两相宜.同样，圆也有两种表示形式，圆的标准方程：，一般方程：（其中圆心，半径）也有相似的问题.【例4】求经过两圆和的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程.【评点】解法1：待定系数法.待定系数方法是直线与圆部分求方程的核心方法之一，依据独立条件、选择合适的方程形式，然后通过解方程（组）得到待求.根据已知，解方程组可得到两圆的两个交点.再由圆心在直线上，设圆的方程为，三个独立条件建立方程组，解方程组即可求出圆的方程；解法2：待定系数法（通过圆系方程求解）.因为所求的圆经过圆与圆的交点，所以设所求圆的方程为+λ=0.整理得+

6、.圆心为（－，－），代入方程，得λ=－7.故所求圆的方程为.解法3：几何法.由两圆方程解出两个交点坐标，可得线段的中垂线方程为，由圆的几何性质，圆心就是直线与的交点，然后可求出圆的半径，写出方程.求方程准确为基本要求，在此基础上追求简洁、快速.其中如几何法、合理使用直线系、圆系方程等.直线系、圆系方程有多种，如（1）平行于已经直线的直线系方程是；(2)垂直于已经直线的直线系方程是；(3)过两条已知直线：和：的交点的直线系方程是：（当时，不含直线和的任一条直线）；(4)圆C1：，圆C2：，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为=0（λ∈R且λ≠－1.它

7、表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆）.四、四类关系的判定及应用是重中之重【例5】已知圆C：,直线：.（1）求证：对m∈R,直线与圆C总有两个不同的交点；（2）设与圆C交于A、B两点，若

8、AB

9、=，求的倾斜角大小；　　【评点】（1）证法1：由已知：,∴直线恒过定点P(1,1)，又圆C的圆心为(0,1),∵(1-0)2+(1-1)2=1<5，∴P在圆C内，则直线与圆C总有二个不同交点.　　证法2：圆心C(0,1)到直线的距离对m∈R成立，∴对m∈R，与圆C总有二个不同的交点.　　证法3：将y-1=m(x-1)代入圆C方程，消去y,得(1)，恒成立，

10、∴对m∈R，与圆C总有二个不同的交点.